c±d整除c·a^n±d·b^n的一个条件

文 [1 ]给出了 c d整除 c· an d· bn的一个充分条件 ,笔者通过对该条件的探讨 ,认为依此还可以得出 c- d整除 c· an d· bn,c±d整除 c· an- d· bn,c2±d2整除 c2· a2 n d2 · b2 n的一个充分条件 .定理 1　设 a,b,c,d是整数 ,n为正整数 ,c- d≠ 0 .n为奇数 ,且 c- d| a b,则 c-d| c·an d·bn.证明　c·an d·bn=c· an d· bn d· an- d· an=(c- d) an d· (an bn) .n为奇数时 ,an bn=(a b) (an- 1 - an- 2 b … bn- 1 ) .又 c- d| (c- d) an,故 c- d| can dbn.定理 2　设 a,b,c,d均是整数 ,n为正整数 ,c- d≠ 0 ,…     

数学奥林匹克高中训练题(144)

第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知集合M是{1,2,…,2011｝的子集,且M中任意四个元素之和均不能被3整除.则｜M｜max=____2.若n∈N,n≥2,ai∈{0,1,…,9｝(i=1,2,…,n),a1a2≠0,且√a1a2…an - √a2a3 …an=a1,则n=____,其中,a1a2…an为由a1,a2,…an构成的n位数.3.在△ABC中,I是△ABC的内心.若AC+ AI=BC,AB+ BI=AC,则∠B=_____.4.对任意正整数n,记an为满足n｜an!的最小正整数.若an/n=2/5,则n=____.     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

2013中国国家集训队选拔考试

第一天 1.给定整数,n≥2,对任意互质的正整数 a1,a2,…,an,记 A=a1+a2+…+a口n. 对i=1,2,…,n,设A与ai的最大公约数 为d;ai,a2,…,an中删去ai后余下的n-l个 数的最大公约数为Di.求n(Ⅱ)i=1A-ai/diDi的最小值.     

2004年IMO中国国家集训队选拔考试试题

(2 0 0 4 - 0 3- 31　8:0 0 - 1 2 :30 )　　1.设∠XOY =90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP =30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值.(王建伟　命题)2 .设u为任一给定的正整数.证明:方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解(n ,a ,b) .(余红兵　命题)3.设n1,n2 ,…,nk 是k (k≥2 )个正整数,且1相似文献   

2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x∈-2π,2π,f(tanx)=sin2x.则f(2sinx)的最大值为().(A)0(B)12(C)22(D)12.实数列{an}定义为,a1=1,a9=7,an+1=a2n-ana-n1-+1+12an,n=2,3,…则a5的值为().(A)3(B)-4(C)3或-4(D)83.正四面体ABCD的棱长为1,E是△ABC内一点,点E到边AB、BC、CA的距离之和为x,点E到平面DAB、平面DBC、平面DCA的距离之和为y.则x2+y2等于().(A)1(B)26(C)35(D)11274.数列x1,x2,…,x100满足如下条件:对于k=1,2,…,100,xk比其余99个数的和小k.已知x50=nm,m、n是互质的正整数.则m+n等…     

2003全国新课程卷理科22题别解

题目设a0为常数,且an=3n-1-2an-1 (n∈N+) (Ⅰ) 证明对任意n≥1,an=(1)/(5)[3n+(-1)n-1*2n]+(-1)n*2n*a0; (Ⅱ) 假设对于任意n≥1有an>an-1, 求a0的取值范围.     

第36届中国数学奥林匹克

1.设数列{zn}(n≥1)的奇数项均为实数,偶数项均为纯虚数,且对于任意的正整数k,均有|zkzk+1 |=2k.对正整数n,记 fn=|z1+z2+…+zn|. 求:(1)f2 020的最小可能值; (2)f2 020 f2 021的最小可能值. (何忆捷供题) 2.给定整数m＞1.求最小正整数n,使得对于任意的整...     

2003年英国数学奥林匹克第2轮试题

1 .对于任意整数n >1 ,设P(n)为n的最大质因数 .求所有的三个不同的正整数x、y、z ,使其满足 :①x ,y ,z是等差数列 ;②P(xyz)≤ 3 .2 .△ABC中 ,D为AB上一点 ,且AD =14AB .过D的射线l与C在AB的同侧 ,交△ABC的外接圆于P ,且∠ADP =∠ACB .证明 :PB =2PD .3 .设 f :N→N是一个正整数集N的一一映射 .( 1 )证明存在一个由正整数a ,a +d ,a + 2d组成的等差数列 ,这里d >0 ,使 f(a) 0 ,使 f(a) 相似文献   

整项等差数列的一种整除性

各项都是整数的等差数列 ,称为整项等差数列 .整项等差数列具有如下的整除性 .定理 1　项数不小于 6的整项等差数列中 ,任意的连续 6项 ,两端连续两项之积的差 ,必能被中间两项之和的 4倍整除 .证　设数列 { an}是公差为 d(d为整数 )的整项等差数列 ,项数不小于 6 ,它任意的连续 6项可记为 an-2 ,an-1 ,an,an+1 ,an+2 ,an+3 ,n∈N*且 n>2 .∵ an+2 an+3 - an-1 an-2=(an+2 d) (an+1 +2 d) - (an+1 - 2 d) (an- 2 d)=anan+1 +2 d(an+an+1 ) +4d2 - [anan+1 - 2 d(an+an+1 ) +4d2 ]=4 (an+an+1 ) d,d为整数 ,∴ an+2 an+3 - an-1 an-2 能被 4…