“求导”诚可贵“构造”价更高——利用导数证明不等式中如何构造函数的策略探索

不等式的证明因其灵活多变、技巧性强著称．很多复杂的不等式证明,如果能够灵活构造函数,并利用导数,往往能获得简捷解决,而构造好相应函数是关键．从哪里入手,如何构造,怎么构造函数,许多同学找不到突破口,常常感到无所适从,甚至构造不出合理的函数．下面就此问题进行探讨．     

构造函数利用导数证明不等式

纵观近几年高考题,涉及不等式证明的问题往往会出现在压轴题上,其灵活多变、技巧性强、综合性强、思维量大,因而不等式证明成为高考的难点问题.很多复杂的不等式证明,如果灵活构造函数,并利用导数,往往能获得简捷解决.而如何构造函数,很多同学找不到突破口,感到很棘手,本文就此问题作出探讨.     

利用导数证明不等式从哪里入手构造函数

不等式的证明因其技巧性强而著称.如果灵活构造函数,并利用导数,往往能获得简捷解决,而构造好相应函数是关键.从哪里入手,如何构造函数,许多同学找不到突破口,感到无所适从,甚至构造不出合理的函数.下面就此问题作出探讨.     

巧用构造法，证明不等式

构造法是一种重要的数学方法,在数学中的应用十分广泛.本文着重谈谈构造法在证明不等式中的应用,通过 “构造函数”、“构造图形”、“构造方程”、“构造复数”等方法来证明不等式,不但能拓展证明不等式的思路,而且对于培养良好的思维品质,提高解题的灵活性、准确性,特别是创造性具有十分积极的意义. 1 构造函数 例1 已知1a<,1b<,求证:11abab+<+. 证明 构造一次函数 ()(1)()fxabxab=+-+ 令()0fx=,得1abxab+=+, ∵(1)(1)ff? [(1)()][(1)()]abababab=+-+-+-+ 22()(1)abab=+-+22(1)(1)0ab=--<,∴函数()yfx=的零点在区间(1,1)-中, 即 111abab+…     

巧构函数证明不等式

证明不等式的方法有很多,其中利用函数来证明是重要方法之一,这种方法的关键是构造适当的函数,再利用函数的性质来证明.而怎样构造适当的函数常常是因题而异的,本文就此归纳了构造函数的几种方法供大家参考.1.特征构造法由待证不等式的结构特征直接构造函数.     

构造函数的视角下例谈证明不等式的常用方法

不等式的证明灵活多变,多出现在压轴题的位置.只要我们深入去探索,总有方法规律可循.文中归纳了构造函数证明不等式的六种常用方法.     

探讨构造函数法证明不等式的若干方法

近年来,高中数学的教材新增了导数相关的内容.相应的,数学不等式的证明也有了新途径和新方法.充分利用导数的相关概念,从而完成不等式的证明,是近年来高中数学教学中的一个重要内容,也是一个难点和热点.利用导数证明不等式的基本思路是,巧妙利用构造函数的基本形式,通过导数来分析原来函数的单调性,找出其最值,分析其值域,从而证明不等式.因此,在证明不等式的过程中,合理、有效地构造函数,是证明不等式的核心步骤.介绍了作差构造函数法、换元构造函数法、从条件特征入手构造函数法的基本思路,并结合实例进行分析.     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.     

运用函数思想巧证不等式

不等式的证明方法很多,中学数学教材中介绍了几种基本证法.但对于许多构造独特、风格各异的不等式,用常规证法往往难以奏效或是证明过程十分繁琐.因此,有必要开拓思路,1辟蹊径,发挥求异思维的探索作用,对此,笔者结合实例,介绍构造函数证明不等式的一些方法.     

构造函数证明不等式

在不等式的证明中,可根据不等式的结构特点,恰当地构造函数,将证明转化为函数问题来研究,常常会使问题的研究得到简化.一、构造一次函数例1｜a｜<1,｜b｜<1,｜c｜<1,求证:ab bc ca 1>0.分析直接来证明比较困难,观察到不等式的左边是a(或b或c)的一次二项式,可以构造一次函数来研     

一题多解求解不等式问题

不等式是中学数学中最重要的内容之一,它作为重要的数学工具知识,渗透在各个数学分支中。不等式内容主要涉及不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法等,不等式的证明和应用综合性强,解(证)法灵活,在求解不等式问题时,同学们要尝试一题多解、举一反三。一、证明不等式的方法丰富多样考试大纲要求了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法。此外,证明不等式还有基本不等式法、换元法(三角换元、代数换元)、构造法(构造函数、构造图形)等。     

构造函数模型证明不等式

有些不等式的证明 ,如果采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从函数思想考虑 ,按照函数的某些性质适当地构造函数模型 ,问题可能容易解决 .一、利用单调性构造函数模型证不等式构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ｘ >0 ,求证 :ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1≤ 2 - 3.证明 :设ｕ =ｘ 1ｘ,则ｕ≥ 2 .又ｕ2 =ｘ 1ｘ 2 ,∴ ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1=ｕ -ｕ2 - 1=1ｕ ｕ2 - 1.当ｕ≥ 2时 ,这是一个关于ｕ的减函数 ,故当ｕ…     

构造函数证明不等式

在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者作适当变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质去证明不等式，这种证明不等式的方法就叫“构造函数法”，本文就如何构造辅助函数分四种情形举例探讨。     

巧用构造法证明不等式

一、构造函数,利用函数的性质证明． 根据不等式中式子的结构特点,恰当的构造一个函数,从利用函数的性质证得不等式,这种方法叫做构造函数法．     

例析构造函数法在不等式问题中的应用

不等式证明或不等式恒成立问题是一类重要问题,解决此类问题的关键是如何根据不等式的结构特点或证明目标构造出适当的函数关系,然后利用导数来研究所构造函数的单调性及最值来解决问题."构造函数"就是一个从无到有,重新审视函数问题的过程.如何构造一个新函数,把所求问题转化为可以利用导数来解决的问题一直是高中数学中的一大研究方向,本文拟就这方面的问题进行探讨,以供读者参考.     

构造辅助函数证明不等式

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,也是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时     

含两个变量的函数不等式证明策略

对含两个变量的不等式证明,解法灵活多变,但其解题方向主要是通过设参、换元、构造函数等变形手段转化为一元函数问题．本文探求几种常见的证明策略．     

构造法在初中数学解题中的应用

兵法说:凡战者,以正合,以奇胜.数学解题中的“正”即指常规思维、方法、解法,“奇”即指发散思维、巧解、妙解.在数学解题时若能充分挖掘题目隐含信息,整合学科知识,大胆构造,就会起到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的效果. 1 构造函数 在证明不等式时,通常采用作差法构造函数,通过判定函数值与0的关系达到证明不等式的目的.某些代数式直接化简较困难,合理构造函数,就能化繁为简. 例1 已知0a>,211ba= ,求证:3在2a和2b之间(包括边界). 分析 本题的常规解法是分类讨论,但我们可以根据“若()()0abac--?则a在,bc之间(包括,bc)”,构造…     

用函数方法巧证不等式

用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1　若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明　令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵　ｍ >0 ,∴　ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注　用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+…     

构造函数法证不等式的思考途径

构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一　利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明　令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 …