光程最短对与称——一个熟悉的数学问题的再探索

直线l同侧有A、B两点,点C在l上,求AC+BC的最小值.这是一个大家都熟悉的问题,解答的方法是:作B关于l的对称点B',线段AB'的长就是所求的最小值.我们还能用数学知识来证明这是正确的,但有不少同学总会问,你是怎样想到找对称点的?在物理的光学中有“光程最短原理”,是指在均匀媒质里,光线从A到B所走的实际路程是连结A点到B点的所有曲线中“光程”最短的一条.这条原理又称“光行最速原理”.根据光程最短原理,从A射出的光线,经直线l反射到B(图1),设入射点为C1,AC1+BC1就是所求的最小值.下面用数学知识来证明它的正确性.延长AC1到B',使C…     

再探矩形格中的最短路径与杨辉三角

文[1]提供了一道小学数学题:如图1,田字格中由4×5条线段组成,试求从点A到点B的最短路径共有几条? 文[1]通过研究得到的结论是:对于m×n阶矩形格(m、n分别为竖线和横线数,且m、n≥2),点A到点B的最短路径数等于杨辉三角中直线M和N交叉处的数字(如图2),此数字可用组合数C(m+n-2)(m-1)表     

光学原理与一类运动型最值问题的求解

先看下面这道应用题 :例 1　如图 1所示 ,海岛城市A离海岸线的距离AC =12 0km ,海滨城市B离C点 16 0km ,已知路上汽车的速度是海上轮船速度的 2倍 ,要使A ,B两城市之间的运输时间最短 ,转换码头应该建在何处 ?对于该题的解答 ,常规的方法是用函数的思想 ,设码头建在距C点xkm处 ,即PC=xkm ,然后将从A经P最后到达B处所用的时间表示为关于x的函数 ,而后求该函数的最小值即可 .再分析这类最值问题 ,它涉及到路径选择中的最短时间 .这跟光在介质中传播路径的选择如出一辙 .因此 ,若能用光的传播规律来解决此类运动型极值问题 ,则是解题中创…     

光学原理与一类运动型最值问题的求解

先看下面这道应用题: 例1如图1所示,海岛城市A离海岸线的距离AC=120km,海滨城市B离C点160km,已知路上汽车的速度是海上轮船速度的2倍,要使A,B两城市之间的运输时间最短,转换码头应该建在何处?     

一题多变 举一反三

七年级《数学》(北师大版)有一道这样的题目:如图1所示要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶.奶站应建在什么地方才能使A、B到它的距离之和最短?笔者鼓励学生一起讨论这道题,启发学生利用新学的轴对称知识,把奶站到A、B的距离转移到同一条线段上来,答案如图2所示,作A点关于街道(可以看成是一条直线l)的轴对称点A',连接A'B与l交于C点,奶站应建在C点处,才能使A、B到它的距离之和最短.     

空间与图形

例1:(1)见图1,从A地到C地,可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中;从A地到B地有2条水路、2条陆路,从B地到C地有3条陆路可供选择,走空中从A地不经B地可供选择的方案有()A.20种B.8种C.5种D.13种(2)某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人,三个区在同一条直线图1AB直接到C地上,位置如图2所示.该公司的接送车打算在此区间只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设在()A.A区B.B区C.C区D.A、B两区之间解析:(1)题的目的是考查学生按照一定的规则设计从一点到达另一…     

怎样走最近

数学来源于实践,数学问题生活化、实际化是新课程的特点之一.数学新教育中有几处对“最短路径”的探究,既有现实性又充满趣味性以及对数学思维的挑战性.应用的基本原理很简单:“两点之间线段最短”,但具体问题中将实际问题转化为“两点之间的线段”这一数学模型的途径丰富又巧妙.下面分平面和空间两种情况进行分析.1平面上的最近问题在同一平面中经常遇到需要确定几条线段和的最小值问题,解决这类问题的思路是:将线段和转化为两点之间的线段.例1如图1,某人牵着马从草地上A处走到河边饮水,然后回到草地上B处休息,怎样走最近?为什么?(本题同…     

"最速降落"轨道的探究

1直线轨道与曲线轨道请看下面这样一个问题:可看作质点的小球自光滑轨道的顶端A处沿不同路径运动到底端B,如图1所示.问1、2、3中沿哪条路径所用时间最短?上述问题是历史上有名的“最速降落”问题,我们先应用定性和半定量的方法分析:图1图2图3(1)小球在轨道2上加速度恒定,沿斜面     

矩形格中的最短路径与杨辉三角

日前,一个小学生拿给本人一道数学题目如下:如图1,田字格中有4×5条线段组成,试求从点A到点B的最短路径总共有几条?对于此题一般都是非常麻烦地一条条查找,最后合计出答案,似乎找不出巧妙的方法,为此本人试图寻找出一些规律来,于是就做了下面的探索.     

最短路线模型在平行四边形中的应用

<正>近年各地中考试卷中常常出现求最短路线类型的问题.这类问题绝大部分可以运用"两点之间线段最短"这一公理加以解决.现就最短路线模型在平行四边形方面的应用,做些初步的探索,供大家参考.一、最短路线问题应用模型的建立问题如图1,将军每天从山峰A出发,先到河边处饮马,然后再去河岸同侧营地B地开会,应该怎样走才能使路程最短?     

数学奥林匹克初中训练题(87)

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.为解决某四个村庄的用电问题,政府投资在电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的路程(如图1所示,距离单位:千米).图1则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是().(A)19.5(B)20.5(C)21.5(D)25.52.若a≠b,则化简2ab-a-b为().(A)0(B)a-b(C)-a-b(D)-a+-b图23.如图2,在⊙O中,MN是弦,正方形ABCD与正方形EFGH的边AB、GH也都是弦,点D、E、F、C都在MN上.若O到MN的距离OS=h,则AB-HG等于().(A)43h(B)74h(C)85h(D)116h4.如果关于x的方程1x2-x+k-5x2+x=k-1…     

课本题改编题训练二(计数原理,集合、常用逻辑用语、算法)

1.(苏教选修2-3P9习题1.1第9题、第10题)如图,从A处沿街道走到B处,使路径最短的不同走法共有多少种?     

一道平移变换习题的拓展应用

利用平移变换进行造桥选址,是平移变换的一个重要应用.下面就课本中一道习题,加以拓展探究,我们可发现其一般规律.一、原题再现题目:如图1,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直）.分析:由于河岸宽度是固定的,造的桥要与河垂直,因此路径AMNB中的MN的长度是固定的.我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A₁,那么为了使AMNB最短,只需A₁B最短.根据两点之间距离最短,连接A₁B,交河岸于点N,在此处造桥MN,所得路径AMNB就是最短路径.如图2.     

游戏聪明屋

你知道我的哪支箭没穿透桃子?不许用尺来量。长脚鼠从A旅游到N,经过所有景点,怎么走最短的路程?共需要走多少千米(名胜之间的数字为相距的千米数。)(答案本期找)1.4号箭2.最短的路是:A→C→D→B→E→F→T→G→N共走了790千米小朋友们快来跟潜水员一起穿越章鱼迷宫吧!3.章鱼迷宫     

师生对话 引导探索——利用轴对称求最短距离

师(投影):问题1饮马人从图1(1)中的A点出发。到笔直的河岸l去饮马,且沿河岸走一段路程a,然后再去B地,如何走路程最近?生甲(思考后):作A关于l的对称点A′,连结A′B,交于P,再取PD=a。连结BD,如图1 (1).     

生活中的几何问题（上）

如图1,A、B两地之间有两条平行的河,一河宽为a,另一河宽为b,现欲在两条河上各造一座桥（桥必须与河岸垂直）,使得A、B之间路程最短,试找出造桥的位置。     

勾股定理的应用——探究最短路径问题

勾股定理的应用是初中数学重点内容之一,探究最短路径问题是勾股定理运用的重要内容.本文通过对一道例题的研究和同学们探讨最短路径问题. 例题:如图1所示,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长分别为长为4,宽为2,高为1),问怎样走路线最短?最短路线长为多少?     

平移距离为什么要等于桥宽

这是八年级数学教科书上的一道习题:如图1,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?注意,桥必须与街道垂直平.移法:如图2,将点A沿竖直向下的方向平移,平移距离等于桥宽,到达A1点,连结A1B,与街道靠近B的一侧交于点B1,过B1点建桥即符合要求.那么,平移距离为什么要等于桥宽?先看一个最简单的问题,如图3,公路同旁有A、B两个车站,在公路L旁修建一个加油站,使得加油站到A、B两个车站的距离之和最短.作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交直线l于点P,点P的位置即加…     

用物理模型解数学极值问题

1问题的提出 如图1所示,有3所大学A、B、C,构成一个锐角三角形.现要找到一点P,沿PA、PB,PC筑路,使所筑路的总路程最短. 此题见诸于一些物理教学杂志上,巧妙地构思了一个力学模型来解,笔者认为仍有必要与大家进一步讨论.为方便起见,先介绍其数学解法,在几何学中这个问题并不复杂.     

机器人避障问题

本文研究了机器人避障行走的最短路径及行走用时最少的路径问题。主要研究了O→A,O→A→B→C→O两种路线,通过分析得知各路线最短路径是由两部分组成的:一部分是平面上的直线段,另一部分是限定区域(圆形)的部分弧线段,其中机器人行走的直线和弧线是相切的。为得到避障最短路径,首先应用CAD能得到机器人到达目的地的所有路线,并利用CAD软件读出可行走的直线路程和弧线路程的数据。然后建立最短路径的0-1规划模型,利用lingo软件求解选出最短的路线,并通过CAD读出最短路线上每段直线段或弧线段的起点,终点和圆心坐标,具体结果见附录1.然后通过建立优化模型,并用lingo进行求解,得到O→A的最短距离为477.69,O→A→B→C→O的最短距离为2734.19.