数学奥林匹克高中训练题(15)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.正方体表面正方形的对角线中存在异面直线,如果其中两条异面直线的距离是1,那么,正方体的体积为( )。     

求解异面直线间距离七法

求异面直线之间的距离是立体几何的重点、难点之一,常见解题思路有:利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离,或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离,或转化为求一元二次函数的最值问题,或用等体积变换的方法来解.本文借助正方体模型来简单说明求异面直线之间距离的一些方法。     

正方体中异面直线的距离

立体几何图形与平面几何图形的本质差异在于异面直线.为确定异面直线的相对位位置,数学上对异面直线的距离、交角作了明确定义.尽管定义比较简单,但要求出异面直线的距离却不是一件容易的事.因为在求解过程中要综合应用几何中几乎所有重要的基础理论和方法.本文仅从求正方体中异面直线距离叙述求异面直线的常规     

从一道习题谈两异面直线距离的求法

空间七大距离:点点、点面、点线、线线、线面、面面距离是高中数学的一个难点,它们之间既有区别又相互联系,而两异面直线的距离又是难点中的难点.其难就在于两异面直线的公垂线需满足:①和两异面直线都垂直;②和两异面直线都相交.因此,若能突破求异面直线距离这个难点,其它距离问题便可迎刃而解.新教材全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第二册(下B)51页第4题:已知正方体A BCD-A'B'C'D'的棱长为1,求直线DA'与A C的距离.这道题以学生熟悉的正方体为背景,考察两异面直线距离的求法,是培养学生探究能力发散思维的好材料,也…     

一题多解 意在创新

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1C1与B1C距离.方法1:直接法也叫定义法.当公垂线直接能作出时,直接作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键.     

异面直线距离转化思路的形成——建构观指导下的一次教学实践

1 问题的引出 求异面直线的距离是立体几何教学中的一个难点,究其原因,主要是高中《立体几何》教材在引入异面直线距离时,通过观察正方体的     

例谈异面直线间距离的求法

立体几何是高中数学内容的一部分，通过对它的教学，可以培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。我在立体几何的教学中，深切地体会到，求两条异面直线之间的距离，既是重点，又是难点。怎样求异面直线间的距离呢？本文拟对一道求异面直线距离的题目给出三种不同的解法来探讨求异面直线间距离的方法，以收抛砖引玉之效。题目：已知正方体ABCD—A'B'C'D'的棱长为１，求直线DA'与AC的距离（如图１）分析一：显然，直线DA'与AC是异面直线，此题就是求两条异面直线间的距离，关键是找出DA'与AC的公垂线。取AD的中点G，连结AC，BD交于…     

公垂线有关的一组公式

求异面直线a、b间的距离,特别是求作异面直线a、b的公垂线的问题,是立体几何的一个难点.不要说一般学生对此感到棘手,就是立体几何基础比较扎实的学生,也常常见之挠腮.本文针对最常见的“长方体两条不共面的面对角线的公垂线的作法及其间距离”这一命题略作探讨,试图给出一组     

两条异面直线间距离的求法

两条异面直线间距离的求法景泰县二中王金喜定义法根据两条异面直线间距离的定义，先做出两条异面直线的公垂线段，然后再求出公垂线段的长度，即为所求，例１．在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ──Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，求异面直线ＤＢ′与Ａ′Ｃ′间的距离。解：如图（１），...     

计算长方体中的异面直线距离的几种方法

长方体中异面线段之间的距离,大部分可以转化为两个平行平面之间的距离,或平行直线和平面之间的距离求得。长方体中异面线段之间夹角,都可以用求异面直线间夹角的一般方法即通过平移一线段后构成三角形,然后用解三角形的方法求得。其中相邻两个面上的异面的面对角线之间及体对角线和异面的面对角线之间的距离计算较为复杂。下面介绍计算这两种距离的几种方法。例已知长方体ABCD—A_1B_1C_1D_1的棱长为a,b,c,a≥b≥c。求:     

用向量研究异面直线

在立体几何中,求异面直线的公垂线,异面直线的距离和异面直线的交角,是一个难点。它之所以困难,是因为公垂线难找,距离和交角难求,解这类问题,技巧性很强。但是,如果以向量为工具,应用坐标法,就可给出这类问题比较简明的一般解法。 [例]在单位正方体ABCD—A_1B_1C_1D_1中、AM=1/(?)AD_1,     

异面直线距离的求法探讨

求异面直线距离是立体几何中一个难点,学好这一内容对于点面、线面、及面面距离等后续课程的学习影响很大.本文系统地介绍一些求异面直线距离的各种方法,并举出一些例题。用多种方法求解.1 直接法直接作出两异面直线公垂线段,再求这     

巧用空间向量 妙解课本习题

题目已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,求直线AC与A₁D的距离.这是人教版高中数学第二册（下B）第50页习题9.8的第4题,它是典型的求两条异面直线距离的问题,本文结合此题用空间向量求异面直线距离的思路.     

寻找联系 循序渐进——“两条异面直线间的距离”教学体会

求异面直线间的距离是立体几何中的难点之一,以下是我利用正方体这一基本立体图形曲浅入深逐步介绍两条异面直线间的距离的各种求法的教学体会.一直接从定义出发寻求解题途径玻利亚的解题表中有一条解题方法是“回到定义去”.     

异面直线距离的求法介绍

求异面直线距离是立体几何中的一个重点 ,也是一个难点 ,学好这一内容对于点面、线面、及面面距离等后续课程的学习影响很大 .鉴于去年高考中考查了异面直线距离 ,为帮助学生学习这一内容 ,本文系统地介绍一些求异面直线距离的各种方法 ,以便开拓思路 ,扩大视野 ,同时也为综合运用各种知识打下一个坚实的基础 .1　直接法直接作出两异面直线公垂线段 ,再求这个公垂线段的长 .具体做法如下 :( 1)若异面直线ａ、ｂ互相垂直 ,则可通过一条(如ａ)作另一条 (如ｂ)的垂面α ,得垂足 ,然后过垂足在α内作出公垂线段 (如文中例 1( 1) ) ;( 2 )若异面…     

新教材一道习题的多种求解方法

人民教育出版社新编普通高级中学课本 (试验修订本·必修 )第二册 (下Ｂ)习题 9· 8中有这样一道题目 :已知正方体ＡＢＣＤ—Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为 1,求直线ＤＡ′与ＡＣ的距离 .这是一道求异面直线距离问题的典型题目 ,本文将给出七种求解方法 ,以供参考 .1　定义法先找到或作出两异面直线的公垂线段 ,然后求出其长 .分析　题目中没有直接给出两异面直线的公垂线 ,需先作出 .如图 1,注意到对角线ＢＤ′与ＡＣ及Ａ′Ｄ均垂直 ,取Ａ′Ｄ上点Ｍ ,ＡＣ上点Ｎ ,连ＭＮ ,设ＭＮ∥ＢＤ′,则ＭＮ即为两异面直线的公垂线段 .因为ＭＮ与ＢＤ′所…     

用等积法求异面直线间的距离

求异面直线间距离是《立体几何》中的难点之一 .笔者在教学过程中发现 ,学生在用定义能直接找出异面直线公垂线段时 ,求其长基本上不存在问题 .但在不易找出异面直线公垂线段时 ,而要求其长往往存在一定的困难 .这时 ,若能用等积法去求异面直线间距离则是行之有效的解决办法之一 .用等积法求异面直线间距离的方法如下 :若ａ、ｂ是两条异面直线 ,设法找出过ｂ而与ａ平行的平面α ,则ａ、ｂ间距离就是直线ａ到平面α的距离 ,也就是直线ａ上一点Ｏ到平面α的距离 .此时 ,利用三棱锥换底而体积不变的做法 ,即可达到求点Ο到平面α的距离的目的 .…     

点击异面直线间的距离

求异面直线间的距离是高中数学的一个难点,难在不知该如何去寻找异面直线的公垂线,也不会将所求的问题进行转化.那么如何求异面直线的距离呢?本文介绍几种求异面直线间距离的方法,以供参考.1 直接法直接法就是根据2条异面直线间距离的定义,直接找出公垂线段,再求出长度,这是解题时首先要考虑的方法.当公垂线段能直接作出时就直接求解,此时,作出并证明异面直线的公垂线段是求异面直     

教材中一道习题的探究

《数学》第二册(下B)第51页第4题:“已知正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为1,求直线DA′与AC的距离。下面将从三个方面谈探究解法。一、运用“转化思想”化为易求的图形距离。由课本第49页的两条异面直线公垂线存在性的探求知:两条异面直线的距离,等于其中一条直线(a)到过另一条直线(b)且与这条直线(a)平行的平面的距离。在此基础上提出是否存在分别过两条异面直线的两个平行的平面呢?如果存在,这两个平行平面的距离与这两条异面直线的距离有何关系?据此给出求异面直线距离的思想方法吗?     

正方体中的线段的距离和所成的角解法谈

在正方体中,有12条棱、12条面对角线、4条体对角线,共计28条线段,有174对异面线段。这些异面线段共分六大类,只有四种不同的距离。现分述如下。 为了方便,设正方体的棱长为a、异面线段间的距离为d,所成的角为θ。 一、棱与棱异面 如图1,与棱AB成异面线段的有A′D′、