巧用三垂线定理解立几题

一、绪论 在历年高考题中,立几题最主要的出题形式有三种：（1）证明两异面直线垂直;（2）求直线与平面所成的角的大小;（3）求二面角的大小或三角函数值．在这些类型题的解题过程中,往往都会应用到三垂线定理去解决问题．     

巧用托勒密定理解一类平几题

圆内接四边形两组对边乘积的和等于其对角线的乘积,这就是著名的托勒密定理.巧用这一定理解某些难度较大、层次较高的圆内接多边形问题,可收到构思新颖、步骤简明的奇特效果,下面举例说明.例1已知P是正方形ABCD的外接圆DC上任一点,如图1,求证:(PB PD)/PA PC)=(PA)/(PB) 证明 连结AC、BD,并设正方形边长     

用梅涅劳斯定理解立几题一例

如图,平面四边形EFGH的顶点E、F、GH分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上。若E、G分别是对边AB、CD中点,FC:FB=3:2,求HD:HA=? 解:在平面β中,延长FE,CA交于P,则P点为CA与平面EFGH的交点,在平面α中延长CA、GH交于P’,则P’也是直线CA与平面EFGH的交点。∴ P和P’点重合。在平面β中,由梅涅劳斯定理 FC/FB·EB/EA·PA/Pc=1. ∵FC:FB=3:2,EB=EA, ∴PA:PC=2:3。在平面α中,同理有GC/GD·HD/DA·PA/PC=1。∵GC=GD,PA:PC=2:3 ∴HD:HA=3:2。     

巧用向量 简解高考立几题

人教版高中数学教材(实验修订本*必修)在第二册(下B)中,引进空间向量,并运用向量来解决立几中的点、线、面及角度、距离等问题,从而把几何结构代数化,淡化了传统教材中"形到形"的推理方法,实现了"形"与"数"的结合,使向量成为具有一套优良通性的方法体系,为立几中一些繁难问题的解决提供了强有力的工具.且看它在近几年高考立几中的应用数例.     

巧用向量 简解高考立几题

人教版高中数学教材(实验修订本·必修)在第二册(下B)中,引进空间向量,并运用向量来解决立几中的点、线、面及角度、距离等问题,从而把几何结构代数化,淡化了传统教材中“形到形”的推理方法,实现了“形”与“数”的结合,使向量成为具有一套优良通性的方法体系,为立几中一些繁难问题的解决提供了强有力的工具.且看它在近几年高考立几中的应用数例.     

巧用射影法解立体几何题

一、面积射影法。若二面角的一个半平面内有一个面积为S的多边形，这个多边形在另一个半平面内的射影构成的多边形面积为S′，则利用公式cosθ=S′/S可求出二面角θ的大小．     

巧用射影法解立体几何题

在立体几何中,将某直线或某平面图形垂直投影到某个平面内,或者将某向量投影到一个单位方向向量上,常常可以巧妙地求解二面角、距离、体积等问题.一、面积射影法若二面角的一个半平面内有一个面积为S的多边形,此多边形在另一个半平面内的射影构成的多边形的面积为S',则利用公式cosθ=S'S可求出二面角θ的大小.例1如图1所示,一条长为2的线段AB夹在互相垂直的两平面α、β之间,AB与α成45°角,与β成30°角,过A、B两点分别作两个平面的交线的垂线AC、BD.求平面ABD与平面ABC所成的二面角.分析常规解法是先作出所求二面角的平面角,然后…     

巧用“三线合一”定理解几何题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,这是等腰三角形的性质定理,也称为"三线合一"定理,它在几何计算和论证过程中有着很重要的应用,若能巧妙地利用这个性质解题,将起到事半功倍的效果.     

巧用正弦定理解竞赛试题几例

纵观近年来的数学竞赛试题,有不少几何命题若单纯用平几中的有关定理、性质探求,则繁难无比;若能合理的运用正弦定理却会得到简捷而又富有启发性的解答来。下面举例说明之。例1 O为凸五边形ABCDE内一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8,求证∠9与∠10相等或互补(1985年全国初中数学联赛试题)。     

巧用韦达定理解方程组

初中《代数》课本里有很多关于巧用韦达定理解方程组的习题,它们可分成以下四种题型.题型(1) 方程组形如(?),其中 A 和 B 是已知常数,应用韦达定理知道 x 和 y 是一元二次方程 t~2-At+B=0的两个根.如果能由观察将 A 和 B 分解成     

巧用韦达定理解物理题

我们知道,韦达定理在数学上有着重要的应用,用它来解物理题也有其独到之处。下面举两个例子,供参考。 例1 将一阻值为r的均匀电阻丝切为两段后,再并联使用时,最大电阻为多少? 解:设电阻丝切为两段后,阻值分别为R_1和R_2,则有R_1 R_2=r.① 再设它们并联时的总电阻为R_并     

巧用张角定理解高考题

在解三角形中,如果我们能掌握一些平面几何性质定理,不仅能拓宽解题思路,而且能使解题过程化繁为简,提高解题效率。     

巧用韦达定理解竞赛题

如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数?     

运用正弦定理解证平面几何题几例

运用正弦定理来解决平面几何问题 ,往往具有思路清晰 ,过程自然的优点 ,还可以避免作大量的辅助线和简缩推理过程 .往往有很明显的优越性 ,下面以近年在各种期刊上出现的平面几何问题为例 ,说明正弦定理的独特作用 .例 1　在△ ABC中 ,∠ ABC =70°,∠ ACB =1 0°,D为 BC上一点     

巧用射影定理

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这个定理反映的是直角三角形中成比例的线段关系．定理在有关计算和线段的积、商的证明中有着广泛的应用，也是各级、各类学校升学考试及国内外数学竞赛的考查热点内容之一、     

巧用动量定理解系统问题

中学阶段应用动量定理解题的研究对象一般是单个物体,而应用动量守恒定律解题的研究对象一般是几个物体组成的系统,但如果把动量定理和动量守恒定律结合起来,研究一个物体系的运动规律,往往能带来许多方便,使问题大大简化.     

巧用共线定理解立体几何问题

问题一立体几何中,求二面角的大小问题,无论是教材还是各种资料大量选用两个面的法向量求解,当这两个平面的法向量均不知时,求法向量需要列两个方程组,共有六个坐标参数需要确定,我们都知道,实际上这六个坐标是通过两次赋值后,再解两个二元一次方程组才得以实现的,且赋值时并不是随意的,而是由向量的方向所确定的,选择不同的方向分别等于二面角的平面角或其补角,这样的解题方式很容易出错!     

巧用因式定理解整除问题

因式定理的等价命题是: 如果了(x)是x的多项式,则 f(“)=0<=二(二一a)If(x). 特别地f(0)~0<=。xlf(二). 利用这个命题处理某些整除问题,思路明晰,步骤简捷. 例1求证4415一1是n的倍数. 证明:设多项式f(劝一(2二一1)’“一l, f(O)一O,令二一11, 川f(二)则 j’(11)二21‘。一1~441”一1. 1 1 If(11)~4415一1, 即4415一1为11的倍数. 例2求证1997,,,5 1995‘,9,是1996的倍数. 证明:设f(x)~(:· l)’,95 (x一1)‘9,,, f(0)~0,.‘.二{f(x). 令x~1996,则 f(t996)二1997,’95 1995,,97, 1 996】f(1996)~1997”,5 1995‘997 即1997‘,,5 1995‘,9,为…     

利用等比定理解代数题

一、用于方程组求解::夕:z=3:4:5,①·例1。解方程组②代( 略解:由①::=3k人②求k再求劣、鲜、劣+ 军二y一之二5.4无,z=5无,Z.用于求值已知a:3+生+生 鱿z=b梦s=ezs(a,b二1。c为常习。:“+b;‘不万至的值.由已知条件: b夕2 e22a劣2+b军2+ezZ一1/梦一1/之一1/劣+1/夕+1/z==a劣2+b yZ+ezZ, 、乙i一劣全一劣二娜且求解竺l/ 数.’.粼a:名+b鲜2+e:“ 粼丁方『一1/劣一1/即刁矛刀了十刀了+划J=刃了=1/二不l/y不万五二粼万+腼.+粼万.三、用于证条件等式例3.若a劣2yZ b夕2一z劣 C22一x鱿,且:犷z神。,求证:a劣+b今+cz=y+z),由 a 劣2一(a+b+e)(劣+ b…