数学悖论对数学发展的影响

数学史上的三次数学危机都是由数学悖论引起的。论述了数学悖论及其引发的三次数学危机的产生与发展,及数学悖论对数学发展的作用。     

漫谈数学史上的三次危机

由悖论引起了数学史上的三次较大危机,每一次“危机”对人们观念都有冲突,另一方面也说明了数学悖论巨大地推动了数学的发展。     

谈悖论对数学发展的影响

在数学史上,悖论对数学的发展产生了深远的影响。在解决悖论的过程中,各种理论应运而生：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。     

悖论和数学哲学

本主要讨论希帕索斯悖论、贝克莱悖论和罗素悖论跟数学危机、数学哲学的关系，重点是罗素悖论及其所引发的数学基础的重建，同时提出笔对数学真理性的一些看法。     

浅议集合论悖论

悖论的出现引起了数学领域的三次危机,特别是集合论悖论的出现所引发的第三次数学危机对数学界的震动最大、影响最深.数学家和逻辑学们在寻求解决办法的过程中形成了各种的学派,在不同领域促进了数学和其他科学的发展.     

三次数学危机与悖论

悖论的发现，给数学界以极大的震动，相继导致了数学史上的三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。本文就悖论与数学危机的产生、悖论的根源以及障论对数学科学的影响提出一些看法。     

悖论与数学的三次危机简介

数学的变化、发展与其内在的矛盾——悖论是密切相关的,正是这些矛盾,导致了数学一次又一次的危机,又正是通过这些矛盾的解决,使得数学这个古老的机体一次又一次地从危机中崛起而更趋成熟壮大,本文拟通过简介悖论与三次危机,展示数学的变化发展及其逐步深化的过程.     

亦真亦幻话悖论

人们通常认为“数学真理是绝对真理”,“数学是逻辑推理严格性的典范”,然而正是在数学的严密中却隐藏着一颗定时炸弹——悖论。它不定时地引爆,一次又一次地引发数学危机,而危机的克服又无一例外地引起数学深刻的变革。因此,数学悖论以其神秘、深奥     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于"无穷"的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论,还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于“无穷”的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论．还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

论“物元分析(MEA)”对数学的开拓

一、数学的几次重大开拓 世界上有些科学家论述数学的重大进展或转折点时有所谓数学危机(Mathemati-cal crisis)的说法,认为第一次危机是公元前400年Hippasus发现不可通约性,对古希腊的数学观点有很大的冲击,他的同伴把他抛进了大海,这次“危机”导致无理数的出现。第二次危机是无穷小量引起的,反映数学内部有限与无穷小的矛盾、连续与离散的矛盾,与很早的Zeno悖论(运动不存在)相呼应,导致微积分的诞生(1665),第三次危机由Cantor集合论(1874)引起,出现了Russell悖论,导致数学基础的研     

数学无穷思想的发展历程(续二)

柳暗花明又一村:无穷小重返数学舞台 17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学,用了无穷小量的概念,但因对其解释含糊不清,出现了贝克莱悖论,导致数学史上的“第二次数学危机”。19世纪,柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论,使微积分理论严格化,从而避免了贝克莱悖论,圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时,极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了量的幽魂”被排斥在数学殿堂之外了。     

试论数学史中的悖论及其认识论和教学论意义

从数学史的“三次危机” ,分析了数学中悖论的实质及其意义 ,由哥德尔不完备性定理论证了以数学为代表的形式化系统的功能和局限。悖论的文学化表述 ,有益于培养学生的学习兴趣 ,也有益于科学文化和人文文化的沟通     

数学在克服危机中前进

古希腊时代,由于无理数的发现与一些直觉经验相抵触而引发了数学的第１次危机。１７世纪,牛顿和莱布尼兹创立了微积分后,由于对无穷小量的理解未及深透而引发了数学的第２次危机。１９世纪末,康托尔创立集合论后,由于罗素提出了“宇宙是不存在的”这一著名悖论上引了数学的第３次危机,数学在克服危机中得到了很大的发展。     

数学基础学派中的逻辑主义

十九世纪末,为了寻找数学的基础,数学家康托创立了著名的集合论。然在随着一系列悖论的发现,尤其是罗素悖论的发现,使得刚刚建立起来的令数学家激动的现代数学大厦的基础又发生了崩塌(第三次数学危机),引发了当时数学界关于数学的(哲学)基础的一场大辩论,并由不同的哲学观点而产生了逻辑主义、直觉主义及形式主义的三大学派。本文只就罗素、怀特海为代表的逻辑主义观点作些粗浅     

集合悖论再议

集合悖论的出现引发了世界数学界的震惊,史称第三次数学危机。针对集合论初创阶段逻辑结构还不够完善现象,数学家们尝试从逻辑上去寻找问题的症结,ZFC公理集合理论的提出,暂时避免了引发数学史上集合悖论的出现,但也不能说,危机就此完美解决。悖论破译的过程就是数学大发展之时,ZFC公理集合理论、模糊数学、集对分析等分支就是探索一种解决和处理集合的新方法。集对分析仍处于发展之中,若将经典微积分求系统变化率与集对分析理论求层次演化率相结合研究,定会促进集对分析向前发展。     

数学悖论价值浅析

悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学等学科的非常广泛的论题.而其中的数学悖论对数学的发展更是有着重要的影响.本文阐述了,数学悖论产生的原因、历史及现状,并分别探讨了数学悖论在基础数学研究中的价值以及它在数学教学中的教育价值,从另一个角度发掘数学悖论的价值所在.     

逻辑悖论随笔"第一次数学危机"是如何引发的--谈希帕索斯悖论与芝诺悖论

大约在公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了:等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约.这个不可通约量的发现和芝诺悖论一起引发了"第一次数学危机".     

数学确定性批判

自非欧几何诞生以来，数学史上的几次重大危机，撼动了数学宏伟大厦的根基；罗素悖论的产生，促进了康托集合论公理化基础的改进；哥德尔不完备定理的提出，彻底暗淡了数学确定性的光芒．怀疑、批判是数学发展的真实动力，破除数学确定性的神性观念，重建数学批判性的人文观念，是传统数学教育模式发生根本转变的关键．数学教育的批判性转型任重而道远．     

重新认识第二次数学危机

深入讨论了数学分析中“x→0”的数量形式，分析了无穷小方法、标准分析方法、非标准分析方法这三代数学分析理论的本质及之间的异同点，得出明确的结论：三百多年来无穷小悖论悬而未决，第二次数学危机名亡实存，是现有数学基础理论中所存在的“有穷－无穷”理论体系及相关的数量体系中的本质性缺陷使人们不具备认识数学中所有“x→0”的数量形式的能力，不具备解决第二次数学危机的能力。