反比例函数y=k/x(k≠0)中k的意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AB、AC,则S矩形ABOC=AB·AC=|y|·|xy|=k.S△ABO=1/2|k|. 证明:∵y=k/x,∴xy=k,∴S=|k|. ∴S△ABO=1/2|k|. 二、应用举例 1.求面积 (1)直接利用k的几何意义求面积 例1一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y=kb/x图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为() A.2.B.4.C.8.D.不确定.     

“反比例函数”自测题

如图 1 ,点P是x轴正半轴上一动点 ,过点P作x轴的垂线 ,交双曲线y =1x 于点Q ,连结O -Q ,当点P沿x轴的正方向运动时 ,Rt△Q -OP的面积 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A)逐渐增大　　(B)逐渐减小　　(C)保持不变　　(D)无法确定2 .如图 2 ,已知反比例函数y=1 2x 的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于点P、Q两点 ,并且P点的纵坐标是 6 .(1 )求这个一次函数的解析式 ;(2 )求△POQ的面积 .3.如图 3,一次函数y=kx +b(k≠ 0 ) 的图象与x轴 ,y轴分别交于A、B两图 3点 ,且与反比例函数y=mx(m ≠ 0 ) 的图象在第一象限…     

洞悉函数本质 强化函数思想——从二轮复习的一道中考题谈对函数的再认识

<正>一、试题呈现(2017年泰州中考题)平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(m+1,m-1).(1)试判断点P是否在一次函数y=x-2的图象上,并说明理由;(2)如图1,一次函数y=-1/2x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,若点P在△AOB的内部,求m的取值范围.     

一次函数与三角形的面积

一次函数与坐标轴围成的图形的面积问题,在历年中考题中常见,它有两种类型:一是由解析式求与坐标轴围成的图形的面积;二是由围成的三角形面积,求该函数的解析式.现举例如下:例1(2004年泰安市中考题)已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A(-2,0)、且与y轴分别交于B、C两点,求△ABC的面积.解由题意得-4+a=0,a=4.2+b=0,b=-2.在y=2x+4中,令x=0,则y=4.因此该直线交y轴于点B(0,4).在y=-x-2中,令x=0,则y=-2因此该直线交y轴于点C(0,-2).图1S△ABC=21|OA|·(|OB|+|OC|)=21×2×6=6.练习已知一次函数y=kx+b+6与一次函数y=-kx+b+2的图象交…     

y=k/x（k≠0）中，｜k｜的几何意义及运用

如图1,设P(x,y)是反比例函数y=k/x图象上任意一点,过点P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A(或B),则△OPA(或△OPB)的面积=12OA·     

反比例函数y=k/x (k≠0)中k的几何意义

一、经典试题 例1 如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.已知反比例函数产k/x(k＞0)的图像经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴,垂足为B,且△AOB的面积为1. (1)求k和m的值; (2)若点C(x,y)在反比例函数k/x的图像上,求当1≤x≤3时,函数值y的取值范围. 解:(1)∵点A(2,m)在反比例函数y=k/x(k＞0)的图像上,且△AOB的面积为1, ∴1/2×2×m=1,解m=1. ∴点A的坐标为(2,1),∴k=xy=2×1=2.     

过抛物线上两点的直线方程及其应用

命题　若一直线与抛物线 C:y2 =2 px(p>0 )相交于 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )两点 ,则直线 AB的方程为 :2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 .证明　∵点 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )在抛物线 C:y2 =2 px上 ,∴ y21 =2 px1 ,y22 =2 px2 .作差得 :y21 - y22 =2 p(x1 - x2 ) ,当 x1 ≠ x2 时 ,k A B=y1 - y2x1 - x2 =2 py1 y2 ,∴直线 AB的方程为 :y- y1 =2 py1 y2(x- x1 ) ,即 2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 . 1当 x1 =x2 时 ,直线 AB为 :x=x1 ,此时y2 =- y1 ,故 1仍成立 .综上 ,命题成立 .特别地 :若 A(x1 ,y1 )与 B(x2 ,y2 )重合 ,即可得到过点 A…     

同现中考、高考的一道题

题1(2011年江苏省高考题)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2/x的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是____.答案:4.题2(2011年浙江省义乌市中考题)如右图,在直角坐标系中,O为坐标原点.已知反比例函数y=k/x(k>0)的图象经过点A(2,m),过点A作AV⊥x轴于点B,且△AOB的面积为1/2.(1)求k和m的值;(2)点C(x,y)在反比例函数y=k/x的图象上,     

探究K的几何意义及运用

根据反比例函数的意义可知,两个变量x与y的乘积是一个常数k(k≠0).如图1,设p(x,y)是反比例函数y=k/x图象上的任意一点,过p作x轴、y轴的垂线,垂足为A、B,则△OPA(或△OPB)的面积=1/2OA·PA=1/2|xy|=1/2|k|,即矩形PAOB的面积等于|K|.     

《确定一次函数表达式》测试题

一、填空题(每小题5分,共20分)1.点A(2,4)在正比例函数的图象上,这个正比例函数的解析式是.2.已知函数y=kx b的图象与y轴交点的纵坐标为-5,且当x=1时,y=2,则此函数的解析式为.3.若正比例函数y=kx与y=2x的图象关于x轴对称,则k的值为.4.写出一个图象经过点(-1,-1),且不··经过·第一象限的函数表达式:.二、选择题(每小题5分,共30分)5.若ab>0,bc<0,则直线y=-ba x-bc经过()A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限6.已知一次函数y=kx b,当x增加3时,y减小2,则k的值是()A.-32B.-23C.23D.327.已知一次函数y…     

巧用抛物线的对称性求解析式

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)具有对称性,它的对称轴是直线x=-b2a,顶点在对称轴上.在求抛物线的解析式时,充分利用抛物线的对称性,可简化运算.现举例说明如下.例1已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,-1)、B(1,2)、C(-3,2)三点,求该抛物线的解析式.解:∵B(1,2)、C(-3,2)是抛物线关于对称轴的对称点,∴抛物线的对称轴是x=121+-3=-1.设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k.将点A(0,-1)和B(1,2)代入,得-1=a+k,2=4a+k解得a=1,k=-2.∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-2,即y=x2+2x-1.例2已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(3,-2),与x轴的两个交点B、C间的距离为4,求该抛…     

单元测试题

(A卷)一、选择题1.点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为().(A)(-1,2)(B)(1,-2)(C)(2,-1)(D)(-1,-2)2.下面点()在函数y=21x+1的图象上.(A)(2,1)(B)(-2,1)(C)(2,0)(D)(-2,0)3.点P(-3,4)关于y轴对称的点的坐标是().(A)(3,-4)(B)(-3,-4)(C)(3,4)(D)(-4,3)4.下列函数关系中,①y=2x+1,②y=1x,③y=x2+1-x,④s=60t,⑤y=100-25x,表示一次函数的有().(A)1(B)2个(C)3个(D)4个5.一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是().(A)一、二、三(B)二、三、四(C)一、二、四(D)一、三、四6.已知正比例函数y=(k-2)x+k+2,k的取值正确的是().(A)k=2(B)k=-2(C)k≠2…     

一次函数与几何图形综合题

<正>一、考点提炼考点1：一次函数与特殊图形例1 (2020·辽宁·沈阳模拟)如图1,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,边OB在y轴上,A的坐标为（6,0）,B的坐标为（0,3）,在第一象限有一点C的坐标为（3,4）.(1)求直线AB的函数表达式;（2）若动点P在x轴上从点（-6,0）出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t.请直接写出当t为何值时,     

热点三 代数几何综合题

一、探究解题新思路题型一方程与图形的综合题典例1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2 OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx 2(m-3)=0的两个根.CyAO B x(1)求C点的坐标;(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.研析:(1)运用一元二次方程根与系数的关系先求OA、OB,再求…     

直线与圆、圆锥曲线中的最值问题的求法

1应用均值不等式(a+b/2)≥ab~(1/2)(a>0,b>0)求最值例1过点A(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距均为正数,则使两截距之和最小的直线l的方程?解析欲使直线l的两截距之和最小,即在x轴上截距为1+ta4nα,在y轴上截距为4+tanα,因而5+tanα+ta4nα最小,于是有5+tanα+ta4nα≥9.等号成立的条件:当且仅当tanα=tan4α,即tan2α=4,∴tanα=±2(舍去-2),∴k=tanβ=-tanα=-2,∴y=-2x+b.又直线l过(1,4)点,∴b=6.故所求直线l方程为2x+y-6=0.评注利用均值不等式一定要注意等号成立的条件及适用的范围.2利用数形结合求最值图1例2一束光线从A(1,-1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是多少?解析圆C的圆心坐标为(2,3)半径r=1,点A(-1,1)关于x轴的对成点A′的坐标为(-1,1),因A′在反射线上,所以最短的距离为│A′C│-r-│A′B│,直线A′C的方程为4x-3y+1=0,即B-14,0,如图1.│A′B│=-1+412+12=45,│A′C│=(2+1)2+(3+1)2=5...     

反比例函数的一个性质及其应用

<正>反比例函数y=k/x的本质特征是:两个变量y与x的乘积是一个常数k.由此不难得出反比例函数的一个重要性质:性质如图1,点P(x,y)是反比例函数y=-k/x上任意一点,过点P作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,则S_(长方形AOBP)=|k|,S_(△PAO)=1/2|k|.下面举例说明上述结论的应用.一、正向应用例1如图2,点A在双曲线y=1/x上,点B在双曲线y=3/x上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD的形状为矩形,则它的面积为____.     

利用简单线性规划巧求参数

下面先介绍一个结论:直线l的方程为Ax By C=0(A、B不同时为零)(1)若M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为直线l异侧的任意两点,则(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0.(2)若M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为直线l同侧的任意两点则(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)>0.证明略.应用举例:例1若点A(1,3)和B(-4,-2)在直线2x y m=0的两侧,求m的取值范围.解设f(x,y)=2x y m.∵A(1,3)和B(-4,-2)在直线2x y m=0的两侧,∴f(1,3).f(-4,-2)<0,∴(2×1 3 m)[2×(-4) (-2) m]<0,∴-5相似文献   

解析几何中要善于应用图形的几何特征

解析几何主要是通过计算来研究曲线的方程或曲线的几何性质 ,如果我们能善于应用平面几何图形的基本性质特征 ,有时可使问题容易解答 .1　使用几何特征可以简化解题过程图 1例 1　直线 l:y=k(x+2 2 )与圆 O:x2 +y2 =4相交于 A,B两点 ,O是坐标原点 ,△ ABO的面积为S.(1)求函数 S= f(k) ;(2 )求 S的最大值 ,并求取得最大值时 k的值 .解　 (1)原点 O到直线 l的距离为 d=2 2 |k|1+k2 ,弦长 |AB|=2 |OA|2 - d2 =24 - 8k21+k2 ,S =12 |AB |· d =12 · 24 - 8k21+k2 · 2 2 |k|1+k2 =4 2· k2 (1- k2 )1+k2 .∵ |AB|>0且 S>0 ,∴ - 1相似文献   

把握问题本质 立足数学建模 生成解法多样——抛物线中三角形面积最值的解法探究

<正>1 试题呈现(2018年山东泰安第24题)如图1,在平面直角坐标系中,y=ax~2+bx+c交x轴于点A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△ABC为等腰三角形,若存在,请直接写出所有点P的坐标,若不存在,请说明理由.2 特点解     

“三点一线面积法”模型及其应用

<正>七年级学生在学习平面直角坐标系后,会遇到一类三点共线问题,由于学生没有学习一次函数知识,这里需要借助构图,利用面积法建立关系来解决问题,下面举例说明.在直角坐标系中,A(a,b),B(c,d)(c>a>0,d>b>0)(1)如图1,点C(x,y)在线段AB上,探求A,B,C三点坐标关系;(2)如图2,AB和x轴交点为M(x,0),探求A,B,M三点坐标关系;(3)如图3,AB和y轴交点为N(0,y),探求A,B,N三点坐