Euler恒等式π~2/6=sum (1/k~2) from k=1 to ∞的初等证明

Euler恒等式π~2/6=1+1/2~2+1/3~2+…经常由中学教师向学生介绍.这个恒等式的证明通常都用到较深的分析工具,如Bernouli多项式、Fourier级数、函数的Taylor展开式等等.不少学完微积分的大学生对这个恒等式也是知其然而不知其所以然.本文用DeMoivre公式和简单不等式给出这个恒等式一个初等证明.     

恒等式n~2-(n-1)~2=2n-1(n∈N)的应用

初看恒等式n~2-(n-1)~2=2n-1并不起眼,左边是两个连续自然数的平方差,右边是左边的简化结果,是一个奇数。但如果连续变换n的取值,甚至变换左边的乘方数,充分利用“叠加”的运算方法,你会发现一些有趣的应用:     

sin~2α+cos~2α=1用于解析几何

sin~2α cos~2α=1是三角恒等式中最基础的公式之一,也是很多恒等式推导的前提.它在解析几何中的应用更加体现了它的重要性.     

运用构造思想推导公式sumfromi=1toni~2=(n(n 1)(2n 1))/6(高二、高二)

从不同角度、不同层面,运用构造思想与方法来探究公式sum from i=1 to n i~2=(n(n 1)(2n 1))/6 的推证方法,对于深入认识事物的本质、锻炼思维品质、培养创新能力,具有不可低估的作用.请看: 1.构造恒等式 方法1 运用数的特征进行联想,引入高一次恒等式 (k 1)3=k3 3k2 3k 1(k=1,2,…,n),得 (k 1)3-k3=3k2 3k 1. 令k=1,2,…,n,递推迭加有     

sin^2α＋cos^2α=1的应用

sin^2α cos^2α=1是一个重要的三角恒等式，一些数学题，若能灵活运用它来解，则能使解法简捷明快．收到事半功倍的效果．     

朱世杰恒等式(sum from k=0 to n)C_(m+k)~m=C_(m+n+1)~m的三种证明及应用

利用中学学过的组合公式以及通过构造不等式、幂级数三种方法对朱世杰恒等式进行证明.同时介绍它的应用.     

浅谈三角恒等式“sin~2x cos~2x=1”的应用

一个很简单的数学关系,如果能深入下去,善于联想。往往能结出丰硕之果。因此,从简单的数学关系出发,引导学生深入思考。启迪学生勇于联想,实在是培养学生发明创造能力,训练学生灵敏思维的好方法,为此。本文以三角恒等式“sin~2x cos~2x=1”为例,探求其在数学领域运用的踪迹。 1 恒等变形功能 三角恒等式sin~2x cos~2x=1具有一般恒等式的功能,即恒等变形功能。从左端至右端的组合变形,一般用以简化计算。而从右端至左端的分解变形,往往是解题的关键。     

计算方幂和sum from k=1 to n (k~m)的一种递推方法

关于计算前n个正整数的方幂和Sm（n）=∑km问题，一直是人们研究和讨论的一个热点问题．本文应用初等微积分的知识，首先给出一个十分有用的积分恒等式，然后借助于这个积分恒等式并且适当运用数学技巧，构造出一个新的结构简单，便于使用的计算方幂和Sm（n）的递推公式，最后利用这个递推公式递归地求出S1（n）到S10（n）的计算公式以及有关方幂和的几个平方关系式与乘积关系式．     

公式sin~2α+cos~2α=1的应用

同角三角函数基本关系式之一——公式"sin2α+cos2α=1"在解决三角式的求值和化简,三角恒等式的证明、三角条件等式的证明、不等式的证明及解方程中都有广泛的应用,主要从正用、逆用和巧用三个方面举例说明。     

对组合恒等式n∑k=0（-1）^kCn^k=0的进一步推广

杨志明老师在文中介绍了这个有趣的组合恒等式n∑k=0（-1）^kCn^k=0读后深受启发,进而对其继续研究,得到了一组新的组合恒等式,以飨读者。     

从cos π/3=1/2∈Q谈起

自然产生一个问题:存在不存在这样的三角函数和式.其结果是有理数,各项都分别n次方后仍是有理数? 有如下一组三角函数恒等式。     

arctan1＋arctan2＋arctan3=π的又一几何解释

本通过构造等腰直角三角形，给出反三角恒等式：arctan1＋arctan2＋arctan3=π的一种新的几何解释．     

若干组合恒等式——李代数S1(2,C)表示理论的一个应用

本文利用李代数Sl(2、c)的表示理论导出一些组合恒等式。     

若干_2F_1型超几何级数恒等式的WZ方法证明

利用WZ方法对Gauss 2F1恒等式、Chu-Vandermonde 2F1恒等式、Kummer 2F1恒等式等7个著名的超几何恒等式进行了证明.由此得出结论:WZ方法在证明求和恒等式时是非常有效的,其最大的优势在于高度算法化,尤其是在证明较复杂的超几何恒等式时,采用WZ方法显得较为简便.     

两个由Heine_2 φ_1变换求和公式得到的q级数恒等式(英文)

利用Heine2φ1变换求和公式,本文应用q指数算子方法给出两个恒等式。     

巧用(x~2)~1/2=|x|求一类函数的周期

函数y=|sinx| |cosx|的最小正周期T=π/2,使许多学生困惑不已.若用函数周期性的定义来证明,则显得复杂.下面采用恒等式(?)=|x|,通过适当的等价变形,求解此类函数的周期.例1 求函数 y=|sinx|的最小正周期     

巧求sum from i=1 to n multiply from j=i to i+r-1 j(r∈N)

如何计算sum from t=1 to n multiply from j=i to i+r-1 j(r∈N)的值(表达式)方法多种多样,但一般都比较繁琐。联想到高级中学《代数》第三册P82习题18_((2))的组合数恒等式,可得: C_r~r+C_(r+1)~r+C_(r+2)~r+…+C_(2+r-1)~r=C_(2+r)~(r+1) 将此式展开后两端乘以r_1,即可得:     

圆柱(台)、正n棱柱(台)侧、表面积与体积间的恒等式

文[1]给出了圆锥侧、表面积与体积间的恒等式(Mb-Mc)Mb(2 Mc-Mb)=9πV2(Mc,Mb,V分别表示侧面积、表面积与体积,下同),文[2]给出了正n棱锥侧、表面积与体积间的恒等式(MbMc)Mb(2 Mc-Mb)==9nV2tanπn,并指出圆锥与正n棱锥恒等式之间的关系.本文给出圆柱、圆台、正n棱柱、正n棱台侧、表面积与体积间的恒等式,供大家参考.定理1圆柱侧、表面积与体积间的恒等式:     

恒等式x^2=│x│^2在解一元二次方程中的妙用

本文介绍了应用恒等式x^2=│x│^2解一元二次方程的几种方法，这一方法的运用，可以化繁为简，避免繁琐的讨论，取得事半功倍的效果。     

基于数学抽象视角下的高三微专题设计——以“组合恒等式kC_n~k=nC_(n-1)~(k-1)”课堂实录为例

<正>前不久,笔者应邀在无锡市高三数学"一模"质量分析及教学研讨会上开设"组合恒等式kC_n~k=nC_(n-1)~(k-1)(k≤n,k、n∈N*)(以下简称(*)式)的应用"微专题示范课,从学生实际的"真问题"出发,设计本微专题.笔者以为关注"概念与理解、问题与转化、变化与确定"是发展核心素养、提升关键能力的主要途径.本