三角形“四心”向量形式的充要条件

在高考中,往往将"向量作为载体"对三角形的"四心"进行考查.一、三角形的"四心"定理内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.性质:到三边距离相等.外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.     

三角形部分概念和定理精析

一、概念辨析———三角形三条角平分线的性质与三边垂直平分线的性质的联系和区别区别:(1)名称不同:三角形角平分线的交点叫做三角形的内心;而三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心.(2)性质不同:三角形角平分线的交点到三边的距离相等;而三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.(3)位置不同:三角形角平分线的交点总在形内;而垂直平分线的交点可能在形内,也可能在形外,还可能在线上.联系:(1)都交于一点;(2)等边三角形角平分线的交点是三边中垂线的交点.例1如图1,A、B、C三点表示三个村庄,为解决村民子女就近入学的问题,有关部门计划建…     

探究构成三角形的特殊点及解题

一、三角形的四心及性质1.内心——内心是三角形三内角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心.内心到三角形各边的距离相等;内心到三角形各边的距离等于三角形内切圆的半径;内心一定在三角形的内部.     

与三角形角平分线和内心的有关问题求解

三角形的内切圆圆心叫做三角形的内心．它在三角形内部,是三角形三条角平分线的交点,到三角形三边的距离相等．在解决有关问题时,如能充分运用这些性质,则可有助于简便地解决问题。     

三角形的旁心

三角形旁切圆的圆心，简称为三角形的旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点．显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心．     

三角形外心的性质及其应用

1　基础知识三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心 .外心有如下一系列优美性质 :性质 1　三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点 ;三角形的外心到三顶点的距离相等 ,反之亦然 .性质 2　设Ｏ为△ＡＢＣ的外心 ,则∠ＢＯＣ =2∠Ａ ,或∠ＢＯＣ =3 60° -2∠Ａ(还有两式 )     

三角形的五心及其应用

三角形的五心指的是外心、内心、重心、垂心、旁心,它们都是关于三角形的某三条特殊直线的巧合点。三角形五心各有特色,掌握了它们的定义、重要性质及隐含特征,对熟练应用五心来证明某些几何题是很有帮助的。一、外心 1.定义:三角形的三条边的垂直平分线的交点(即三角形外接圆的圆心),称为三角形的外心。 2.重要性质:外心与三角形三个顶点地距离相等。 3.隐含特征: (1)三角形的三条边就是外接圆的弦; (2)外心与各顶点连线将三角形分成三个等腰三角形; (3)由外心向各边作垂线,平分各边且平分各边所对的弧; (4)外心与各边中点连线必垂直于各边; (5)三角形任一边的垂直平分线必过其外心; (6)三角形的外心可能在三角形内部、外部或边上(如下图)。     

与内心有关的几个结论

三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心．内心也是三角形内切圆的圆心．显然,内心在三角形内,且唯一．     

三角形内切圆的半径公式及其应用

任何三角形都有唯一的内切圆,该圆的圆心就是三内角平分线的交点,半径就是圆心到三边的距离,其大小不仅与三角形的周长有关,而且还与三角形的面积有关,在许多与内切圆有关的三角形问题中都会涉及到半径,因此,本文首先推导出三角形内切圆的半径公式,然后举例予以说明.     

用向量观点看三角形的"四心"问题

仔细观察近几年的高考试卷,发现一条重要的信息:有关三角形的“四心”问题在各地高考卷中屡屡出现,而且常考常新,几乎可以作为当年高考的一个亮点.何谓三角形的“四心”?简单地讲是三角形的四种重要线段(直线)相交而成的四个特殊点,分别是三角形的内心(三个内角的角平分线的交点)、外心(三条线段中垂线的交点)、重心(三条中线的交点)、垂心(三条高线的交点).下面通过高考题来简单地阐述如何将三角形“四心”问题用我们的新增知识———向量进行包装.例1(2003年江苏卷)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA λ(…     

巧用三角形的外心解题

三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心．有一类题目,使用三角形的外心可以简便求解．本文先介绍外心的有关知识,再举例说明外心在解题中的用法．     

“心”“影”相随

<正>三角形中有诸多的"心":三条高线的交点为垂心;三条中垂线的交点为外心;三条内角平分线的交点为内心,三边中线的交点为重心等.在一个三棱锥中三棱锥的顶点在底面的射影落在底面的什么位置,对解决三棱锥问题有很大的帮助.在一些特殊的三棱锥     

谈三角形内切圆与其切点三角形的关系

与三角形三边都相切的圆叫三角形内切圆 ,圆心叫三角形的内心 ,是三角形内角平分线的交点。因此 ,内心到三角形三边距离相等。把内切圆与三角形三边的切点顺次连结所得到的三角形 ,我们称之为原三角形的切点三角形。下面就来谈谈与三角形内切圆有关的几个问题。1　切点三角形的     

三角形内切圆中的一条性质及应用

三角形内切圆中有如下的有趣性质: 定理 三角形一内角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是该点为另一顶点关于内切圆的切点弦直线与这条内角平分线的交点.     

角平分线定理的一个推广及其简单应用

三角形内(外)角平分线定理:三角形的内(外)角平分线分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。推论三角形的两边和这两边所成角的内外角平分线组成调和线束。不通过调和线束的新的直线与这四条直线相交,则四个交点形成调和点列。     

巧用三角形的外心解题

（本讲适合初中）三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,亦称为三角形的外心．有些平面几何问题,若能将其与外心联系起来,运用外心的性质,往往可以简便求解． 1知识简介 1．1外心的性质 性质1 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．     

圆内三角形的探究

一、圈内两对三角形的相关定义定义1：三角形三个内角平分线的延长线与其外接圆相交,交点构成的三角形叫做原三角形的角线三角形．定义2：三角形三条边上高线或其延长线与其外接圆相交,交点所构成的三角形叫做原三角形的高线三角形．     

奇怪的三角形重心(初二、初三)

数学中三角形的重心规定:一任意三角形三条中线的交点即为三角形的重心.此时三角形的三边只是三条线段,没有体积、没有质量. 物理中三角形的重心 1.三角板的重心质量分布均匀的三角板的重心在三条中线的交点上,即与几何重心重舍.     

巧用三角形的外心解题

<正>三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.有一类题目,使用三角形的外心可以简便求解.本文先介绍外心的有关知识,再举例说明外心在解题中的用法.一、外心的性质与判定1.外心的性质性质1三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.性质2设O是△ABC的外心.(1)若点O、C在直线AB的同侧,则∠ACB     

关于“平面图形面积平分线”的若干说法的反例

<正>如果一条直线能够将一个平面图形的面积平分,那么这条直线叫做这个平面图形的面积平分线.许多人受"三角形的重心是三角形三条中线的交点,而三角形的每个中线恰好都能将三角形面积平分"以及"过中心对称图形的对称中心的直线能将中心对称图形的面积平分"等知识的负迁移,对"平面图形面积平分线"认识模糊,理解片面,常走入误区.本文以举反例的方式剖析若干关于"平面图形面积平分线"的常见错误说法,供读者参考.