灵活运用矩阵方法几例

设 A 是秩为 r 的 m×n 矩阵,则存在 m 阶可逆阵 P 及 n 阶可逆阵 Q,使 A=P((?))Q.本文灵活地运用这一重要结论证明一些有关结果.例1 若 B_(nk)列满秩,则存在 A_(kn)行满秩,使 A_(kn)B_(nk)=I_k.事实上,因为 B_(nk)列满秩,故其称为 k,从而存在 n 阶可逆阵 P 及 k 阶可逆阵 Q,使B_(nk)=P((?))Q.于是有 A_(kn)(?)Q~(-1)(I_k 0).P~(-1),使 A_(kn)B_(nk)=I_k.得证.利用本文开头所述的结论,以及例1的结果,还可以给出矩阵的满秩分解这一熟知     

一个正交矩阵的求法──高等代数教材研究(7)

任一实对称矩阵入总存在正交矩阵U，使V’AU是对角形矩阵。通常用施密特正交化方法求U，计算颇繁，本文提出一个新的方法，不必借助欧氏空间的某些概念与性质。引理设A是nXr实矩阵，若秩A。r，则存在可逆矩阵巨使P’八’AP。I（单位矩阵）征．．”秩A。r，．．．存在矩阵B使G＝（AB）是n阶实可逆矩阵，从而G’G是正定矩阵，但所以A’A是正定矩阵，A’A与1合同。定理A是n阶实对称矩阵，如果T是实可逆矩阵，使q’－‘AT是对角形矩阵，则存在可逆矩阵R，使U。TR是正交矩阵，而且U’AU是对角形矩阵。证不妨设人有两个不同的特征根…     

利用分块矩阵证明矩阵秩的某些性质

为了便于证明 ,首先介绍几个引理 :引理 1　秩 (Ａ) +秩 (Ｂ)≤秩 Ａ　 0Ｃ　Ｂ证明 :设Ａ为ｍ阶矩阵 ,Ｂ为ｎ阶矩阵 ,则有ｍ阶可逆矩阵 Ｐ1,Ｑ1和ｎ阶可逆矩阵Ｐ2 、Ｑ2 使得 :Ｐ1ＡＱ1=Ｅｒ1　 00　　 0 　　Ｐ2 ＢＱ2 =Ｅｒ2 　 00　　 0则 :Ｐ1　 00　Ｐ2Ａ　 0Ｃ　ＢＱ1　 00　Ｑ2=Ｐ1Ａ　 0Ｐ2 Ｃ　Ｐ2 ＢＱ1　 00　Ｑ2=Ｐ1ＡＱ1　 0Ｐ2 ＣＱ1　Ｐ2 ＢＱ2=Ｅｒ1　 00　　 0 　 0Ｐ2 ＣＱ1　 Ｅｒ2 　 00　　 0　　　　　　 (Ⅰ)显然秩Ｐ2 ＣＱ1Ｅｒ2 　 00　　 0≥秩 Ｅｒ2 　 00　　 0 =ｒ2所以由 (Ⅰ)秩 Ａ　 0Ｃ　Ｂ=秩Ｅｒ1　 00…     

伴随矩阵的一个性质

【定理】设A是n阶矩阵，P和Q是n阶可逆矩阵。若PAQ＝B则B*=|PQ|Q－1A*P－1，这里的A*和B*分别是A和B的伴随矩阵。其次令P是消法矩阵因为每一个n阶可逆矩阵，包括换位矩阵都可以化为若干个上述两种矩阵的积。所以对任一可逆矩阵民若PA＝B，则B”。IPA”P－‘．类似地可以证明，Q是可逆矩阵，若AQ＝＝B则B“一闪闪”‘A．。现在设P，Q是可逆矩阵，PAQ＝B令PA二B，B；”二IPIA”P－‘，B二PAQ＝B；Q，则B”＝［Q·Q’‘B；“＝IQIQ”·！PA”P”‘＝IPQIQ－‘A“P－‘作为定理的特例，有如下的【命题1】A是n防矩…     

全国统一命题考试高等数学(二)试题及参考答案

第一部分选择题(共40分)C .Ln 一单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分) 产A .B、 1·设,A一贬。’A ZJ为气“2方阵,则正确的为() A .A河逆B .AZ可逆 C .A。与A。的可逆性不能判定 0.A,与AZ均可逆 8.设A为3阶可逆矩阵,2为A的一个特征值,则必为(4A厂,的一个特征值的是()C .4 1。·不 9.设样本空间几={x:O‘x‘4},事件A={x:1相似文献   

伴随矩阵的充要条件

本文将证明一个定理:设B为n阶矩阵,则存在某个n阶矩阵A,使得B是A的伴随矩阵的充要条件是B的秩为n、1或0。一、问题的提出     

计算机数学基础综合练习

1　填空题(1 )2 - 1 01 300 0 - 1=。(2 )设二阶矩阵A =4　 32　 1 ,其伴随矩阵A =。(3)设A =1 24 0- 34,B =- 1 2 03- 1 4 ,则(A+B′)′ =。(4 )设A ,B均为三阶矩阵 ,且A =B =- 3,则- 2AB′ =。(5 )矩阵2 - 1 24 0 20 - 33的秩为。(6 )设向量组α1 =(1　 3　 - 1 ) ,α2 =(0　 1　 1 ) ,α3 =(1　 4　k) ,且向量组线性相关 ,则k =。(7)线性方程组AmnXn1 =Bm1 ,当有无穷多解。(8)齐次线性方程组AmnX=0的系数矩阵r(A) 0 …     

介绍一种解方程组X''''=AX的方法

设常系数齐线性微分方程组为 X/=AX。一v,二。。、T,,,,头甲,人“气灿,幻,’”人n夕人’=‘山‘,勺’,”、 (x))T是。xl拒阵,\|lles︸./nn二n 1,比na a ..a … .… .… 1,-na卜‘引a之a二,‘ l曰二n但11阵1..1饱A=是nxn常数矩阵. 我们定义矩阵指数e,A(或。A)为 00 AK_~_A一奋;二~~”.二.1,…1‘_.七入P八=山入里=乃十八十不丁一八‘十…十—找u十”’ ,_-一‘百们. 版=O’一‘(2)其中,E为n阶单位矩阵,A”是矩阵A的n次幕。又规定A。二E,。!=1,易证矩阵级数(2。)对所有的A都是收敛的.因而,expA是一个确定的矩阵. 可以证明,矩阵 中(t)=…     

可逆矩阵的定义

关于可逆矩阵的定义,现行课本这样给出:“设A是数域F上的一个n阶矩阵.如果存在一个n阶矩阵B,使得AB=BA=I(单位矩阵)那么A叫做一个可逆矩阵(或非奇异矩阵),而B叫做A的逆矩阵.”这个定义以简捷的方式深刻地揭示了可逆矩阵的实质.但初学者对这定义方式往往感到费解.同时可逆矩阵的一些重要结果的建立者较费事.本文尝试用下面的方式定义,可能对初学者有所好处.     

2000年下半年全国高等教育自学考试高等数学(二)试题

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题干的括号内。每小题2分，共40分）1．三阶行列式＝（ ）。 ①63 ②70 ③－70 ④822．≠0是矩阵A可逆的（ ）。 ①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④既不充分也非必要的条件3．设A为n阶方阵，则方阵（ ）为对称矩阵。 ①A－A′，A′表A的转置 ②CAC′，C为任意n阶方阵 ③AA′ ④（AA′）B，B为n阶对称方阵4．设A、B、C是n阶方阵，下列结论正确的是（ ）。 ①AB＝BC ②若A2＝0，则A＝0 ③A＋B＝B＋A ④若AB＝AC，则B＝C5．实二次型f（x1，x2，…     

2005年1月高等教育自学考试全国统考课程——《高数(二)》预测试题

(一)单项选择题(20 xZ分== 40分) (1)A与B都是n阶方阵,则成立的是() A.(A一B)(A+B)=AZ一BZ B AB=O则A=0或B二0 C}ABI:l州}Bl D.(AB)2二AZB“ (2)若A可逆且k笋O,则(KA犷,=() A .A一,B.(KA)一, c.工A一‘D,K认一 k (3)若以1·仪2,仪3向量组线性相关、则必有() A.议1,(艾2,以3中有零向量 B仪1=k以2 C.以1,仪2,以3中有一个可以由其余两个线性表示 D.以1=kl(笑2+kZ伐3 厂一1 21、 (4)若A={0一23},则不是八二的特征1内的是() 又0咬)一3夕 A .1 …     

线性代数综合练习

1 填空题 （1）行列式 （4）若矩阵A、B、C均为n阶可逆矩阵,则（A-1BC）-1=_。 （5）设A、B为四阶矩阵,且|A|=|B|=-3,则|A＇B|=_。 （6）设A、B 均为二阶可逆矩阵,则     

行列式的降阶定理妙用两则

《线性代数》中的行列式的降阶定理是:定理设A、D分别为n×n、m×m矩阵,B、C分别为n×m、m×n矩阵,若A、D可逆,则|A B C D|=|A||D-CA~(-1)B|     

乘积矩阵正定性的讨论

引理1 n阶实矩阵A对称正定的充分必要条件是存在n阶实对称正定矩阵B,使得A=B~2.引理2设A是n阶实正规矩阵,且它的特征值都具有正的实数部分,则A为正定矩阵.定理1设A,B∈R~(n×n),若A是对称正定矩阵,且(AB)(BA~(-1))~T=(AB)~T·(BA~(-1)),则AB是正定矩阵的充分必要条件是B的特征值的实部大于零,即Reλ(B)>0.     

对矩阵AB—BA特性的探讨

本文讨论的矩阵指的都是复阵,即其元素都是复数,以下不再另作说明。一设A和B都是n阶矩阵,我们知道一般情况下AB     

欧拉不等式的一个加强

熟知,著名的欧拉不等式为:设△姓BC的内切(ZsinA一sinZA _~_.R_圆和外接圆半径分别为r和找,则下多艺32C05丝2c。s旦 2__CCO吕,二- 2(3)C一2 n 一﹄B2 n .司人 SA一2 n .‘人 SOJ叮自 厅舀下面将欧拉不等式加强为:定理设△任BC的内切圆和外接圆半径分别为r,则同理ZsinB一sinZBC一2A一2B一2 g 占L广产‘.、、 +月‘、11,R‘_.下少艺’卜;l( A .B工g气石一〔g不 ‘云C(一tg一万)‘32e0s _BCOS— 2(4)COSC一ea./C姓、月+ltg万一tg万JI 、“JJ 。C‘A(1)tg‘万5 In不 自‘5 inB一2ZsinC一sinZC证明 _~.0.月.B田十在△且廿…     

矩阵的秩与其非零特征值个数相等的条件

证明了n阶方阵A的秩r(A)与其非零特征值个数μ(A)之间的关系:r(A)≥μ(A).得出了矩阵A可逆和矩阵A可对角化是r(A)=μ(A)的两个充分条件;矩阵A没有形如xm(m2)的初等因子是r(A)=μ(A)的充分必要条件.     

如何把握矩阵的分解

矩阵的分解是一个比较复杂的概念,如何把给定的一个矩阵进行分解,常使初学者不知所措,本文通过一系列例子来说明矩阵分解的一般方法.一个m×n非零矩阵A的秩定义为A的不等于零的子式的最高阶数.若秩A=7,则A可以通过初等变换变成(?)初等变换可以通过乘初等矩阵来实现,因此A总可以表示成A=P(?)其中P、Q分别是m阶、n阶可逆矩阵.该式是一个基本的、但非常方用的表达式,它告诉我们可以通过便于处理的可逆矩阵P、Q和简单矩阵(?)来把握一般矩阵A的分解.     

2005年10月全国高等教育自学考试 高等数学（二）试题

一、单项选择题(本大题共18小题,每小题2分,共36分)在每小题列出的备选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A是n阶实对称矩阵,A2=O,则下列成立的是()A、A=E B、A可逆C、｜A≠｜0D、A=O2、若A=BT,则AT(B-1A-1 E)T可化简为()A、A B B、AT A-1C、ATB D、A A-13、设α1=(1,0,1),α2=(1,1,0),α3=(0,1,1),α4=(1,1,1),则向量组α1,α2,α3,α4共有不同的极大无关组()A、1个B、2个C、3个D、4个4、设矩阵A的秩r(A)=1,ξ1,ξ2,ξ3是方程组A4×3X3×1=b4×1的三个线性…     

用初等变换求长方形矩阵的逆

已知矩阵A,求矩阵B,使得AB=I(I为单位阵)。对于A是可逆方阵时,我们已知道怎样求矩阵B;当A是nxn(m≠n)的长方形矩阵时,又怎样求B呢?本文将给出一个方法——先把A增广为可逆方阵,再用初等变换法求之。