活用向量内积,巧解代数问题

向量的数量积(内积)有着非常广泛的应用空间,除了能够解决一些几何问题外,在求解一些比较复杂的代数问题时,若有目的,有意识的运用它,则可为学生提供崭新的视角,丰富学生的思维结构,收到满意的教学效果,本文主要介绍在证明不等式和求函数最值两个方面的应用.     

构造向量解代数及几何问题

以例题的形式，介绍了通过构造向量求解数学问题的方法，涉及不等式证明、无理方程求解、解析几何、立体几何等方面．     

利用向量法求根式函数值域问题

本文试着用向量的几何意义来解决求一类根式函数值域的问题.向量作为工具,它沟通了几何与代数间的联系,为处理和解决中学数学中的问题增添了新的思想方法.     

构造向量巧解代数问题

提起向量的应用，自然会想起它在平面几何、立体几何、解析几何中的重大作用，但向量的应用非常广泛，不等式、数列、代数式中的一些问题也可通过构造向量来解决，下面用三个具体实例来谈谈向量在代数中的应用。     

向量在代数中的运用

向量不仅是解决立体几何、解析几何的有力工具 ,也是解决代数和三角问题的有力工具 ,它可使许多代数和三角问题的求解过程变得轻松 ,生动 ,给人以数学美的享受 .它为解决中学数学问题开避了一条新的途径 .一、比较大小例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,0 <ｘ<1,试比较ａ2ｘ + ｂ21-ｘ 与 (ａ +ｂ) 2 的大小 .解　设向量ｍ=ａｘ,ｂ1-ｘ ,ｎ=(ｘ ,1-ｘ) .由 (ｍ·ｎ) 2 ≤｜ｍ｜2 ｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2=ａｘ·ｘ + ｂ1-ｘ· 1-ｘ2≤ ａ2ｘ + ｂ21-ｘ ｘ+ (1-ｘ)=ａ2ｘ + ｂ21-ｘ.例 2　 (2 0 0 0年河北省高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｒ+…     

巧用构造向量法解三角问题

在解某些三角问题时,若能根据题意,合理恰当地构造出向量,即可运用向量的相关知识,巧妙地将题目解决,下面举例说明.     

构造向量巧解不等式问题

新教材中新增了向量的内容 ,其中两个向量的数量积有一个性质 :a→·b→=｜a→｜·｜b→｜cosθ(其中θ为向量a→ 与b→ 的夹角 ) ,则｜a→·b→｜=｜a→｜·｜b→｜cosθ ,又 -1 ≤cosθ≤ 1 ,则易得到以下推论 :( 1 )a→·b→ ≤｜a→｜·｜b→｜ ;( 2 )｜a→·b→｜≤｜a→｜·｜b→｜ ,( 3 )当a→ 与b→ 同向时 ,a→·b→=｜a→｜·｜b→｜ ;当a→ 与b→ 反向时 ,a→·b→=-｜a→｜·｜b→｜ ;( 4)当a→ 与b→ 共线时 ,｜a→·b→｜ =｜a→｜·｜b→｜.下面举例分析说明以上推论在解不等式问题中的应用 .一、证明不等式【例 1】　已知a…     

例说用向量法解最值题

对于向量p,q,有不等式p@q≤|p|@|q|,当且仅当向量p与q同向时取等号.     

利用平面向量求最值

最值问题是中学数学中最常见的问题之一,也是中学数学的教学重点和难点,还是各位考试专家的掌上法宝,在各级各类考试中频繁出现.最值问题多有技巧性强、难度大、解法灵活等特点.因此,最值问题也是学生学习数学的拦路虎,学生常由于最值问题而害怕数学.其实解决最值问题并不难,最重要的是要掌握解题的方法和技巧.平面向量法就是解决最值问题的一种有效方法.     

从对一道向量题的解法的修改谈一题多解

平面向量是高中数学的重要板块之一.本文是在教学时从学生的疑问中引发的思考,并在此基础上寻求一题多解,发散思维.     

挖掘“隐圆”巧解向量最值问题

向量最值问题往往隐藏着圆的背景,设法让“隐圆”显现,便可轻松破解这一类向量最值问题.     

用向量方法求函数值域或最值

近几年来，向量越来越被人们所重视．因为向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．对某些代数问题，如求函数的最值或值域，如果能巧妙地构造向量，便能将其转化为向量问题．     

构造向量求一类无理函数的值域

文[1]、[2]对型如y=m√g（x）＋n√f（x）,其中g（x）＋f（x）=c（正常数）,mn〉0的函数求最值．这两篇文章都有一个限制条件“mn〉0”,事实上这是不需要的,本文将这个条件去掉,用构造向量的方法来完成这一类无理函数值域的求解．     

向量法解高考立体几何试题

最值问题是初中数学中一类常见题型,在这类问题中又有一类是属于非常规问题的,即不使用常规方法求解的问题.本文试想对此类问题的解法做一探讨.     

向量法解题之技巧

敢于创新,就会有收获,数学学习就是如此.数学解题中,若能冲破知识网络体系的界限,则会思路顿开,妙趣横生,其乐无穷.本文通过向量法解题例析,展向量法解题之巧妙,看知识点融会之重要.     

构造向量求函数最值

函数最值问题 ,屡屡出现在国内外各类竞赛试题中 .适当构造向量 ,可使一类函数最值问题的思路清晰 ,解题方法简捷巧妙 ,并富于规律性、趣味性 .定理　m,n为两个向量 ,则| m| 2 ≥ ( m· n) 2| n| 2 .证明　设两向量的夹角为θ,则| m| 2 =| m| 2· | n| 2| n| 2 ≥ | m| 2 | n| 2 cos2θ| n| 2 =( m· n) 2| n| 2 ,证毕 .1　构造向量 ,求整函数最值例 1　求实数 x,y的值 ,使得 ( y- 1 ) 2 +( x+ y- 3) 2 + ( 2 x+ y- 6 ) 2 达到最小值 .( 2 0 0 1年全国初中数学联赛试题 )解　构造 m=( y- 1 ,x+ y- 3,2 x+ y-6 ) ,n=( - 1 ,2 ,- 1 ) ,依定理 …     

构造平面向理 巧解最值问题

最值问题是数学奥林匹克中的热门试题 .它技巧性强 ,难度大 ,解法活 .本文利用高中数学新教材中新增的重要内容———平面向量 ,巧解一类最值问题 .1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　 (1992年上海市高三数学竞赛试题 )若正数使不等式 :ｘ +ｙ≤ａｘ +ｙ对一切正数ｘ、ｙ成立 ,则ａ的最小可能值是＿＿＿＿＿ .解　构造向量 ａ =(ｘ ,ｙ) , ｂ=(1,1) .由 ｜ ａ· ｂ｜≤｜ ａ｜｜ ｂ｜ ,得　　ｘ+ ｙ≤ 2 · ｘ+ｙ.当且仅当 ａ与 ｂ同向 ,即ｘ =ｙ时 ,等号成立故ａ的最小可能值是 2 .例 2　 (2 0 0 0年第 11届“希望杯”全国数学邀请赛高…     

利用函数图象解五类问题

一、求函数的最值及值域 例 1.求函数 y=的最大值与最小值 . 解：令 u=， v=则有 u2＋ v2=20,y=2u＋ v,在同一坐标系内画出四分之一个圆： u2＋ v2=20和直线系： v=－ 2u＋ y的图象 .如图 1，直线与圆相切时，有 ymax=OA.直线过点 B(0， 2 )时，有， ymin=OB.∴ ymax=10.ymin=2 . 例 2.求函数 y=2x－ 2 的值域 . 解：把给定函数变形为－ 2x＋ y=－ 2 ,令 y=t，得－ 2x＋ t=－ 2. .在同一坐标系中分别作出直线系 y=－ 2x＋ t及半双曲线 y=－ 2的图象 .如图 2直线系 y=－ 2x＋ t与下半双曲线 y=－ 有交点时， t≤－ 4或 0 二、比较大小 例 3…     

构造向量解三角问题

平面向量是中学数学的一个重要工具,适时地构造向量解决三角问题,往往会收到事半功倍之效．