戏说π~(1/2)

<正>一、π的介绍圆周率π是圆的周长与直径的比值,是一个在数学中普遍存在的常数.圆周率的发展历经实验时期、几何法时期、分析法时期、计算机时代,随着方式的改变,圆周率有效数字位数也不断增加,是一个无限不循环小数,约等于3.141592654.二、问题来源高一数学教学的第一周任务是初中知识的复习,在复习到有理数和无理数时,我告诉同学们:类似于π这种无限不循环小数叫作     

arcsin (sinα)=π-α(α∈〔π/2,(3π)/2〕)的猜想和证明

劳动人事部培训就业局组织沈炎金先生等编写的全国技工学校通用教材《数学》(1985年3月北京第1版)第206页,有:“例5求下列各式的值:     

巧用T=2π(m/k)~(1/2)解奥赛题

T=2π(m/k)~(1/2)一般用来求简谐运动的周期,同样它也可以用它来训练学生的思维的严谨性,解题过程的完善性。例1　两端开口的U形管中注有长为h的水银柱,若将管的右端封闭,被封闭的空气柱长为L,然后使水银柱做微小的振荡,设空气为理想气体,且认为水银振荡时右管中封闭气体经历的     

关于函数f(θ)=sinθ/θ(0＜θ≤π/2)的单调性的一组优美结论

命题函数f（θ）=sinθ/θ（0〈θ≤π/2）是减函数．利用导数不难证明该命题．由此命题可以得到许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途．     

从求sin15°的值谈[a±b~(1/2)]~(1/2))形式的根式化简

注意:当√b的根系数是2时,若找到两个有理数x和y,能使x+y=a,xy=b,则原式可以用这两个有理数的算术平方根和或差来表示,并且将较大的一个有理数写在前面的一个根式里作为被开方数.     

代数数cos(lπ/m)次数计算公式

本文给出了代数数cos(lπ/m)的次数计算公式。     

让学生亲身体验和见证解题过程——函数单调性y=sin（π/3-2x）的教学启示

新课程背景下的高中数学教学的评价标准,无疑增加了“创新精神与实践能力”的培养．这就要求教师在教学的过程中,要绝对地以学生为主体,通过学生自主学习来掌握知识和提高能力．要把教师的教育教学目标渗透到学生自我探索、发展的过程中去,尽最大限度为学生提供创造、创新的条件．     

浅论寻甸方言“么[m~(44)]”的用法

寻甸方言日常口语中,"么"常用作连词、语气和叹词。连词在于提出疑问,做出总结,表承接、选择、转折的意义。句末语气词表示确认、申述和疑问的语气;句中语气词则用于句中停顿处表强调,目的在于提出话题,引起注意;叹词"么"常置于句前,表惊讶、感叹的意味。从语用上看,连词"么"可以充当话语标记,语气词"么"则具有标记话题的功能。     

浅论寻甸方言“么[m~(44)]”的用法

寻甸方言日常口语中,"么"常用作连词、语气和叹词。连词在于提出疑问,做出总结,表承接、选择、转折的意义。句末语气词表示确认、申述和疑问的语气;句中语气词则用于句中停顿处表强调,目的在于提出话题,引起注意;叹词"么"常置于句前,表惊讶、感叹的意味。从语用上看,连词"么"可以充当话语标记,语气词"么"则具有标记话题的功能。     

关于不定方程x~3-3~(3m)=2pqy~2

设p、q为不同的奇素数且■.用初等数论方法给出了不定方程G:x~3-3~(3m)=2pqy~2有正整数解的充要条件.同时具体给出了m=3,13时方程G的全部整数解.     

关于Diophantine方程x~3-3~(3m)=Dy~2

设D是无平方因子正奇数.本文证明了:当D不能被6k+1之形素数整除时,如果方程x3-33m=Dy2有适合gcd(x,Y)=1的正整数解(x,y,m),则D≡7(mod 8),D的素因数p都满足了p≡11(mod 12),而且D的素因数个数必为奇数.     

浅谈利用a cosθ b sinθ =(a~2 b~2)~(1/2)sin(θ φ)解题

本文着重讨论:当θ∈[θ_1,θ_2],且0<θ_2-θ_1<2π,特别是ψ为非特殊值时,f(θ)=a cosθ b sinθ值域的求法及其一般规律。解题的途径是利用a cosθ b sinθ=(a~2 b~2)~(1/2)sin(θ ψ)。     

从Σsin(A/2)cos(B/2)的上下界谈起

设A、B、C表示△ABC的三个内角,s、R、r分别表示△ABC的半周长、外接圆半径和内切圆半径,表示循环和.定理1在△ABC中,有33sincos2224sABR澹,(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明不失一般性,无妨设,ABC#由A、B、C为△ABC的三个内角,则,,(0,)2222ABCp.由于在区间(0,/2)p内     

是“(m1~2-m2~2)~(1/2)”还是“m1-m2”

在一本新近出版的高考复习资料中[1] ,有一道似乎平常但又有创意的题 ,本文拟就此做一简单讨论 .图 1[原题 ]如图 1所示 ,一条细绳跨过相同高度的两个定滑轮 ,两端分别拴上质量为ｍ1和ｍ2 (ｍ1>ｍ2 )的物体Ａ和Ｂ ,在滑轮之间一段绳上的某点Ｏ ,系一质量为ｍ的物块Ｐ ,设悬挂Ａ、Ｂ的绳足够长 ,不计摩擦和绳重 .欲使系统保持平衡状态 ,试求ｍ应满足的条件 .原解 :“ｍ12 -ｍ2 2 <ｍ <ｍ1+ｍ2 .原解析 :当ｍ较大时 ,若系统能保持平衡 ,则θ1和θ2 都趋近于零 (但不等于零 ) ,此时 ,ｍｇ <(ｍ1+ｍ2 )ｇ ,即ｍ <ｍ1+ｍ2 .又因为ｍ1>ｍ2 ,故系统…     

关于([f(x)]~2)~(1/2)=|f(x)|的逆用

本文准备谈一下关于([f(x)]~2)~(1/2)=|f(x)|的逆用,作为本刊83年第6期“(a~2)~(1/2)型根式变形教学管见”一文的补充。例1.求证|f(x)|~2=[f(x)]~2 证明:|f(x)|=([f(x)]~2)~(1/2) 两边平方,得|f(x)|~2=[f(x)]~2。例2.化简|(1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2)|(0≤α≤π) 解:原式=(((1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2))~2)~(1/2) 例3.求证|asinx+bcosx|≤(a~2+b~2)~(1/2)。证明:|asinx+bcosx|=((asinx+bcosx)~2)~(1/2)=(a~2sin~2x+b~2cos~2x+2absinxcosx)~(1/2)=((a~2+b~2)-(a~2cos~2x+b~2sin~2x-2absinxcosx)~(1/2)=(a~2+b~2-(bsinx-acosx)~2)~(1/2)≤(a~2+b~2)~(1/2)。     

sum (a/r_a)≥2(3~(1/3))的加强

文[1]建立有如下一个几何不等式;设△ABC的三边长为a、b、c,旁切圆半径为r_a、r_b、r_c,则\sum (a/r_a)≥2(2~(1/3))①其中∑表示循环和,下同.本文将①加强为7a>以aR十)一oV4R‘ 4Rr 3r‘其中R、厂分别是否ABC的外接圆和内切国半径.证明 设八**C的面积、半周长分别为A、S,由r.一A/(—a)等.知②等价于     

形如N=π~α3~(2β)Q~(2β)的奇完全数

设正整数N满足N=πα32βQ2β,这里(Q,π)=(Q,3)=1,Q=p1...pk,且p1,...,pk是相异的奇素数.本文证明了当β=9时,N不是奇完全数.     

关于函数f（θ）=sinθ/θ（0〈θ≤π/2）的单调性的一组优美结论

函数f（θ）=sinθ/θ（0〈θ≤π/2）是减函数,有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途．