何必都用分母有理化

分母有理化是化简二次根式的常规方法.但对于一些题目,若转换一种思维方式,运用发散思维,另辟解题途径,不用分母有理化,其过程反而简捷明快.下面举例说明.一、巧妙约简,耳目一新例1 化简:6-6~(1/6)/6~(1/6)-1+7-7~(1/7)/7~(1/7)-1+10-10~(1/10)/10~(1/10)-1.分析 因为6-6~(1/6)=6~(1/6)(6~(1/6)-1),7-7~(1/7)=7~(1/7)(7~(1/7)-1),10-10~(1/10)=10~(1/10)(10~(1/10)-1),从而可巧妙约简.解 原式=6~(1/6)(6~(1/6)-1)/6~(1/6)-1+7~(1/7)(7~(1/7)-1)/7~(1/7)-1+10~(1/10)(10~(1/10)-1)/10~(1/10)-1=6~(1/6)+7~(1/7)+10~(1/10).二、巧妙通分,简捷明快     

浅谈几种特殊高次方程的解法

我们曾经学习倒数方程的解法,现讨论如方程的系数间隔出现、方程的系数成等比数列及形如f(x)=x9·10n 9·10n-1 … 9·10 9 x8·10n 8·10n-1 … 8·10 8 ……x10n 10n-1 … 10 1 1等高次方程的解法.     

一道习题的解法及推广

题目:已知x1是方程x lgx=10的根,x2是方程x 10x=10的根,则x1 x2的值为().A.8B.10C.11D.12解法一:图像法.如右图,作出y=lgx,y=10x,y=10-x的图像,由对称性易知x1 x22=5,则x1 x2=10,选B.解法二:估值法.y10y=10xy=xy=lgxxy=10-x01x25x1101设(fx)=x 1gx,g(x)=x 10x,它们在各自的定义域内都是增函数.因为f(9)=9 lg9<10,(f10)=10 lg10=11>10,所以(f9)<(fx1)<(f10),910,则g(0)相似文献   

一类循环数列的求和公式

在中学代数学习中,常常会遇到要求循环数列9,99,999,……,99.··…9:项和。对于这个例子我们是不难解决的,9=10一1一99~1 02一1一999一10一1 七:个9口因为原数列的每一项可分别变形为:99……9一10’一1,……,所以它七。个gJn项和为S:=(10一1)+(10“一1)+(10“一1)+……+(10”一1)前前的的~(10+1 02+10“+……+10”)一n10(10“一1) 10一1一合(‘”·“一9一‘。,在这个解题过程中,主要的思想方法是将给定的数列每一项恒等变形,的求和公式,最终获得解决。 据此,我们便可类似地获得下述结果,并用定理的形式给出。 ……(I)使之能利用等比数列…     

合理分类化难为易

数学中有些计数问题,要做到不重复、不遗漏,就要进行合理的分类。例1从1写到100,共写了多少个数字“1”?分析和解:个位上:每10个连续的数中,个位上出现一次“1”,由100÷10=10,可见共出现10个“1”;十位上:每百个连续的数中,十位上出现十次“1”,由100÷100=1,所以共出现10个“1”;百位上:三位数只写了1个100,因此只出现了一个“1”。10 10 1=21。     

从分数到分式

有些分数问题 ,适当地用字母表示数 ,使之转化为分式问题 ,就可以使问题得以巧妙解决 .请看几例 .例 1　计算 :199919982199919972 199919992 -2 .解　设 19991998=ｎ ,则原式 =ｎ2(ｎ -1) 2 (ｎ 1) 2 -2 =ｎ22ｎ2 =12 .例 2　 -191919919191-190 190910 910 -190 0 190 0910 0 910 0 的值等于 (　　 ) .(Ａ) -3　 (Ｂ) -5 791　 (Ｃ) -1　 (Ｄ) -13解　设 19=ａ ,91=ｂ ,则原式 =-10 10 1ａ10 10 1ｂ-10 0 10ａ10 0 10ｂ-10 0 0 10 0ａ10 0 0 10 0ｂ=-ａｂ(1 1 1) =-3ａｂ=-5 791.应选 (Ｂ) .例 3　已知Ｍ =5 6 7890 12 346 7890 1…     

“10个十是一百”的教学设计

(一)复习 1.从1数到20,从20数到1。 2.13里面有几个十几个一;1个十6个一组成多少? (二)新授 1.讲10个一是一十;10个十是一百。①数小棒,一根一根地数,从1数到10,把10根小棒捆成一捆。指出10根是1捆,就是10个一是一十。(板书)问:10里面有几个一?10里面有几个十?     

解题研究三例

题目1 10名运动员参加乒乓球比赛,其中每两名恰巧比赛一场．在比赛过程中,第1名胜x1局、负y1局,第2名胜x2局、负y2局,……,第10名胜x10局、负y10局,试比较x1^2＋x2^2＋…＋x10^2与y1^2＋y2^12…＋y10^2的大小．     

算法多样化 教师究竟尴尬些什么——《有几瓶牛奶》教学片断及反思

案例 :有几瓶牛奶(《北师大新世纪版 ,实验教材第一册)出示情景图 ,抽象出算式9 +5后)师 :谁能想办法找到这个算式的答案?生思考后 ,全班交流)生1 :我是顺着数的10 ,11 ,……14 ;生2 :我是把5分成1和4 ,1和9凑成l0 ,10加4等于14 ;生3 :我也是把一个数凑成10 ,不过 ,我是把9分成4和5、5和5凑成10 ,10加上4等于14 ;师 :同学们回答的都很好、谁还有和其他同学不同的想法?生4 :我是一个一个加的 ,9 +1=10 ,10 +1=11 ,11 +1=12 ,……13 +1=14 ;生5 :我还有一个想法 ,把9看成10 ,10加5等于15 ,由于9看作10多加1 ,所以结果要减去1 ,即9 +5=10 +5 -1…     

10-1=?

你知道10减1等于几吗?9。对,可也不完全对。如果树上有10只鸟,被枪打掉1只,这里的10减1就不一定是9,而可能1只鸟也没有;如果鱼缸里的10条金鱼死了1条,问还剩几条金     

怎样理解数列1,22,333,4444,…,的通项?

4444,…的前”项之和。n一9 一题:求数列1,22,333,解这个数列的通项是: a。二九(10”一l+10”一“十…十10+1)=n(10”一1) 910”n 9设1 X 10 91 x 102 9+呈圣l蟹 9十;兰里旦i 9+一竺兰丝二 9空匕些旦9生+ 9刀X 10 9。+1则10一9 十 +n一Q口呀工一一一。 P。.’.P。·10P。一10尸。=丝+ 9n X 10“+立 9=些(z十,o+102+ U\…+10了一’)一竺曾里10P10 10.一1n xl呀)”+199P l729〔10+(gn一1).10“干‘〕最后答案为 l1458通2(gn一1)10”“一81n叮n+1)+20}上述题目和相同的解法,见于多种习题集。笔者认为,这题的题意不明确。上面解答中写出的通…     

《认识11-20》教学设计与意图说明

师：比10小1的数是几？比10大1的数是几？你还知道哪些比10大的数？f生举例1你们真了不起,还知道这么多比10大的数,今天我们就一起来认识比10大一些的数。     

极稀酸溶液的 pH计算

一、问题题目在1 L水中滴入10滴(1 滴=0.05 mL)0.1 mol.L-1的HCl溶液,然后取出1 mL溶液稀释至1 L,则稀释后溶液的PH是多少? 错解一:滴入HCl的物质的量=10 ×0.05×10L×0.1 mol·L-1=5×10-5 mol,则C(HCl)=5×10-5mol.L-1.     

究竟1兆=10~(12)还是1兆=10~6

在数学里 ,整数数位可分为“个”、“万”、“亿”、“兆”等等 ,计数单位之间的关系是 :1万个 1为 1万 ,1万个万为 1亿 ,1万个亿为兆…… ,所以1兆 =10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =10 12 .而现行物理教材关于电阻单位的换算中 ,却又有 :1千欧 =10 0 0欧 ;1兆欧 =10 0 0千欧 .也就是说物理教材中的 1兆= 10 0 0 0 0 0 =10 6.那么究竟 1兆 =10 12 ,还是 1兆 =10 6呢 ?学生感到困惑 !教师该如何向学生解释呢 ?当您打开字典去翻阅“兆”字 ,会发现它在表示数目时 ,有新旧不同的含义 :1.百万 ,2 .古代指万亿 .原来 :在古代 ,某些计数单位数值不太统…     

不同的解读，不同的效果——六年级（上册）“分数除法”教学案例思考

[例题]一辆摩托车3/10小时行使18千米,1小时行使多少千米?[解读]教学“一个数除以分数”,教材主要是借助具体问题,通过具体情景引导学生理解“一个数除以分数,可转化成乘这个分数的倒数”的算理。这个转化推理的过程是教学的重点,也是难点。为了帮助学生理解,教材借助线段图有序地进行推演:先帮助学生理解3/10小时行18千米,就是3个1/10小时行18千米;求1小时行多少千米,就是求10个1/10小时行多少千米,因为1个1/10小时行的千米数是18÷3,也就是18×1/3,所以10个1/10小时行的千米数就是18×1/3×10,运用乘法结合律就是18×(1/3×10),即18×10/3。由于以上推理主要是借助线段图来理解的,因而如何解读线段图是本课教学中一个十分重要的环节。以下是三位老师的不同解读:     

一道兰州市一诊数学选择题中体现的立体几何思想方法

<正>2019年3月的兰州市一诊数学试卷中选择题第10题是这样的:在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为()。A.10~(1/2)/5B.3((10)~(1/2))/(10) C.(15)~(1/2)/5 D.(10)~(1/2)/(10)     

五年制数学第一册教材分析

一、10以内数的认识和加减法甲、教学重点:认识10以内的数,正确规范地书写10以内的数,并能熟练口算10以内数的加、减法。乙、教学难点:整齐匀称地写数字;连加、连减地计算。丙、基础知识教学要求 1.能结合图或实物数1到10的数,知道一个物体也没有用0表示。 2.能说出1到10各个数字,并能整齐匀称地写出1到10各数。     

求异思维&作文立意

求异思维,又称为发散思维,就是多角度、多起点、多层次来思考问题的方法。作文中求异思维的关键是立意,独辟蹊径、别开生面、化腐朽为神奇的立意,是创新思维的核心。如《中国青年报》刊登的一篇高考作文《10减1等于……》,一开头,就是一段新奇有趣的求异式表达:“你知道10减1等于几吗?9。对,也不完全对。如果树上有10只鸟,被枪打掉1只,这里的10减1就不一定是9,而可能一只鸟也没有。如果鱼缸里的10条鱼,死了一条,问还剩几条鱼?那么10减1还是等于10。如果是夜里点燃的10支蜡烛,被风吹灭了1支,问天亮还剩几支?那么答案是1,因为其余的蜡烛都燃尽…     

一个命题的修正及推广

《数学方法与解题方法论》第 130页有这样一个命题 :形如 aa…aan个bb…bbn个(a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈ N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b=2 .笔者经过仔细的证明 ,发现此命题是错误的 ,应修正为 :形如 aa… aan个bb… bbn个的自然数 (a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b= 2或 a=4 ,b=2或 a=9,b=0 .证明　 (必要性 ) :aa…aan个bb…bbn个(n∈N* )=(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 )× 10 na+(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 ) b=(1+10 1 +10 2 +… +…     

顺耳忠言——读李昌武《给学生的一百条建议》

那年,我教一年级。 我说：“1＋1=2;10＋10=20。”话音未落,你举起你鼓槌般的小胳膊,大声嚷道：“我不同意。1堆黄豆加1堆黄豆,仍是1堆黄豆,10堆黄豆加上10堆黄豆,仍然是1堆黄豆。所以,1＋1可以等于1,10加10也可以等于1。”全班哄堂大笑,我也微笑,很高兴你是个爱动脑筋的好孩子,于是送了你一颗“智慧星”。你很得意,觉得我特别喜欢你,你自己特别伟大。