数列递推关系a1=p,an+1=kan+b(k≠0,n≥1)——一个好的研究性问题

数列递推关系ａ1 =ｐ,ａｎ+ 1 =ｋａｎ +ｂ　 (ｋ≠ 0 ,ｎ≥ 1)给出了一类很重要的数列 ,2 0 0 2年全国高考数学试题第 2 0题就涉及到这个数列递推关系式 .为了搞好这个数列递推关系的教学 ,在学习完等差和等比数列后 ,我安排了一节数学探究活动课 ,启发学生从等差数列和等比数列的定义式出发 ,主动地建构这个数列递推关系 ,并引导学生积极地对数列递推关系进行了探讨和研究 .在探讨和研究中 ,学生表现出浓厚的兴趣和强烈的求知欲 ,课堂气氛活跃、热烈 .通过对思想方法、思路、过程和结果的广泛交流与研讨 ,学生都能很好地理解数列递推关系…     

递推公式a_(n+1)=Aa_n+B巧解

数列问题往往是将已知数列转化为两个基本数列而得到解决 .本文通过实例说明 ,对于一类由递推公式ａｎ+ 1=Ａａｎ+Ｂ给出的数列ａｎ ,如何化为基本数列使问题得到解决 .题　已知数列 ａｎ 中 ,ａ1=2 ,ａｎ+ 1=2ａｎ+3(ｎ∈Ｎ ) ,求通项公式ａｎ.解　在ａｎ+ 1=2ａｎ+3两边加 3,得ａｎ+ 1+3=2ａｎ+6 ,即ａｎ+ 1+3=2 (ａｎ+3) ,变形 ,得　　 ａｎ+ 1+3ａｎ+3=2 .所以 ,新数列 ａｎ+3是以ａ1+3=5为首项 ,2为公比的等比数列 ,从而ａｎ+3=5 · 2 ｎ-1,即所求数列 ａｎ 的通项公式为ａｎ =5 · 2 ｎ-1- 3(ｎ ∈Ｎ ) .有同学要问 ,你是如何想到两边…     

巧用构造法解二阶线性递推数列通项公式

<正>求递推数列的通项公式,既是中学数学学习的一个难点,又是近几年高考的一个热点,近三年新课标高考压轴题都有求这类数列通项公式的问题.本文就求二阶线性递推数列通项公式,介绍一种构造法.已知数列{a n}中,a1=a,a2=b,a n+1=ka n+la n-1(n≥2),我们称数列{a n}为二阶线性递推数列.     

“递推数列”通项求解策略

虽然新教材对“递推数列”只是要求由递推公式写出数列的前几项,并未要求从递推公式求通项,但是此类题可以很好地考查化归思想及分析、归纳、推理的能力,故而递推数列或与其相关问题常作为高考的能力测试题.1982年、1984年、1987年等数学高考卷,都有化成一阶线性递推an+1=can+d型的数列问题;在90年代,此类问题曾被一度冷落,但从2000年以来,递推数列问题又成了高考的热点.2002年全国高考卷理科数学的应用题;而高考数学新课程卷从2002年至今连续三年都以压轴题来考查有关递推数列求通项的问题.其中2000年是以填空题形式考查的.     

巧用构造法解二阶线性递推数列通项公式

<正>求递推数列的通项公式,既是中学数学学习的一个难点,又是近几年高考的一个热点,近三年新课标高考压轴题都有求这类数列通项公式的问题.本文就求二阶线性递推数列通项公式,介绍一种构造法.已知数列{a n}中,a1=a,a2=b,a n+1=ka n+la n-1(n≥2),我们称数列{a n}为二阶线性递推数列.     

递推数列

(本讲适合高中 )递推数列是高中数学竞赛中的一个热点话题 .按递推关系式 ,递推数列可分为线性递推式和非线性递推式两类 .由于递推关系式的结构新颖 ,形态各异 ,所以解答此类问题往往需要针对相应问题的具体特征 ,运用一些独特的方法和技巧 .1　基础知识数列 {ｘｎ}的连续ｋ项满足ｘｎ+ｋ=ｆ(ａｎ+ｋ - 1,ａｎ+ｋ - 2 ,… ,ａｎ) ,则称此式为数列 {ｘｎ}的一个递推关系式 .由递推关系式及ｋ个初始值可以确定的一个数列 {ｘｎ}称为递推数列 .无论是涉及递推数列的论证题 ,还是需要建立递推关系式的综合题 ,其求递推数列的通项是解题的核心 .…     

往前作差(商)方法在数列中的应用

我们知道 ,已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ,可通过ａｎ =Ｓ1,ｎ =1,Ｓｎ -Ｓｎ- 1,ｎ≥ 2 .求出ａｎ.这种往前作差的方法尽管朴实 ,但反映的思想却极其深刻 ,不妨称之为往前作差 (商 )法 .它在解决数列问题中有着广泛而有效的应用 ,本文举例说明之 .1　求数列通项对数列递推式往前作差 (商 ) ,往往能发现数列的本质 ,继而顺利地求出数列通项 .例 1　设数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａ2 =2 ,ａｎ+1+ａｎ=3ｎ(ｎ =1,2 ,… ) ,求ａｎ.分析　将ｎ - 1代入ａｎ+1+ａｎ =3ｎ ,得ａｎ+ａｎ- 1=3(ｎ- 1) (ｎ≥ 2 ) .两式作差 ,得　ａｎ+1-ａｎ- 1=3.显然数…     

常见的几种数列递推关系求通项策略

数列的递推关系是给出数列的一种重要方法 ,2 0 0 0～ 2 0 0 3年的高考试题都有涉及及数列递推关系的题目 ,而由数列的递推关系确定数列的通项往往是解决数列问题的关键 ,同时也是对学生进行数学思想方法教学的重要载体 ,比如参数法、叠加法、迭代法、换元法、构造法等 .下面笔者对常见的几种数列递推关系的求通项策略进行解析 .类型 1:an+ 1 =p an +q解析 :当 p =1时数列为等差数列 ,当 q =0 ,p≠ 0时数列为等比数列 .当 p≠ 1,p≠ 0 ,q≠ 0时 ,引入参数λ,令an+ 1 -λ =p( an -λ) ,整理得 an+ 1 =pan+( 1-p )λ,由 ( 1-p)λ=p,所以λ=q1-…     

处理递推数列中含干扰项问题的策略

<正>通过递推关系求数列的通项公式,是高考的热点和难点.笔者在平时的数学学习和解题过程中不断总结、反思,针对如何处理出现在递推数列中的干扰项,构造出熟悉的新数列,归纳得到一些求通项公式方法,现叙述如下.一、a_(n+1)=qa_n+f(n)型数列对于满足a_(n+1)=qa_n+f(n)的数列{a_n},     

高考常见的递推数列通项的探求

递推数列是数列的一种重要类型 ,高考明确要求考生“了解递推公式是给出数列的一种方法 ,并能根据数列的递推公式写出数列的前几项”.根据较简单的递推公式求出数列通项 ,既可考查等价转化与化归这一数学思想 ,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度 ,因此经常渗透在各年的高考试题中 ,具体探求方法主要有以下六种 .一、迭代法所谓迭代 ,即不间断地重迭的代入 ,在知道数列相邻项的明显递推关系时迭代常常是有效方法 .例 1　 ( 2 0 0 0年高考题 )设 {an}是首项为 1的正项数列 ,且 ( n + 1) a2n+ 1- na2n + an+ 1an =0 ( n =1,2 ,3… ) ,则…     

非线性递归数列的求解方法

数学是数学竞赛中重要课题之一 ,许多数列都是通过递归公式给出的 数列的递归式有线性递归式和非线性递归式两种 ,线性递归式都有具体的模型可循 而非线性递归数种类繁多 ,解决这些问题的方法很多 ,但是可通过好方法转化为线性的来处理 ,下面介绍一些常见的转化方法 1　特征方程法ａｎ+1 =ａａｎ +ｂｃａｎ +ｄ(ｃ≠ 0 ,ａｄ-ｂｃ≠ 0 ) ,ａ1= 1为已知 ,求ａｎ 的一般表达式 上式称为一阶分式线性方程 ,我们有下面的定理 :定理　设Ｘ1 ,Ｘ2 为递推关系ａｎ+1 =ａａｎ +ｂｃａｎ +ｄ 的特征方程ｘ =ａｘ +ｂｃｘ +ｄ 的两根 ,那么(ｉ)若…     

构造辅助数列求通项

通项公式和递推公式均可用来描述数列.从近年的高考试题看,更侧重于考查数列的递推公式,然而通项公式常常是解题的最终目标.构造辅助数列,可以实现由递推公式向通项公式的转化. 例1求数列1,3,6,10,15,……的一个通项公式,并计算Sn=1/a1+1/a2+…+1/an     

特殊数列的公共项问题的解法

高中教材第一册 (上 )第 1 4 0页第 2题第 4小题 :已知数列 ａｎ 、 ｂｎ 的通项公式分别为ａｎ =ａｎ+2 ,ｂｎ=ｂｎ+1 (ａ ,ｂ是常数 ) ,且ａ>ｂ ,求这两个数列中序号与数值均相同的项的个数 .这是求两个等差数列的公共项问题 ,但这道题要求序号与数值均相同 ,通常数列的公共项问题只要求数值相同 ,并不要求序号相同 .现举两例说明数列公共项问题的基本解法 .例 1　数列 ａｎ 与 ｂｎ 的通项公式分别为ａｎ =2 ｎ,ｂｎ =3ｎ +2 ,它们的公共项由小到大排成的数列是 ｃｎ ,求 ｃｎ 的通项公式 .解　设ａｍ =ｂｐ,则 2 ｍ =3 ｐ+2 ,ａｍ+1 =2 …     

解决数列问题应重视的几种思想与方法

一、函数与方程的思想例1　已知函数ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,数列{ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ.(1)求数列{ａｎ}的通项公式;(2)求证数列{ａｎ}是递减数列.解:(1)∵　ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ,∴　2ｌｏｇ2ａｎ-2-ｌｏｇ2ａｎ=-2ｎ,即ａｎ-1ａｎ=-2ｎ.∴　ａ2ｎ+2ｎａｎ-1=0.解得ａｎ=-ｎ±ｎ2+1.因ａｎ>0,故ａｎ=ｎ2+1-ｎ.(2)∵　ａｎ+1ａｎ=(ｎ+1)2+1-(ｎ+1)ｎ2+1-ｎ=ｎ2+1+ｎ(ｎ+1)2+1+(ｎ+1)<1,ａｎ>0,∴　ａｎ+1<ａｎ.∴　数列{ａｎ}是递减数列.二、分类讨论的思想例2　设{ａｎ}是由正数组成的一个等比数列,Ｓｎ是其前ｎ项和,…     

高等数学背景下的高考命题探究——2012年全国数学高考理科卷第22题

题目设函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明:2≤xn相似文献   

一类递推数列问题的归纳与探究

递推数列内容丰富、综合性强、难度大．不仅应用广泛,而且是学生进行综合训练,培养数学思维,提高分析问题、解决问题能力的重要内容;同时,是进一步学习高等数学的基础,是教学的难点也是近几年高考的热点,下面介绍几种如何由递推公式求数列通项公式．     

一道高考压轴题的启示

纵观近几年的高考数学试题 ,一些比较困难的问题 ,常有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {an}满足 an+ 1=a2n - nan+1,n =1,2 ,3,…( )当 a1=2时 ,求 a2 ,a3,a4,并由此猜出 an的一个通项公式 ;( )当 a1≥ 3时 ,证明对所有的 n≥ 1,有( i) an ≥ n +2 ;( ii) 11+a1+11+a2+… +11+an≤ 12 .解析 :这是以数列和不等式的基础知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,( )及( ) ( i)不难解决 ,( ) ( ii)难倒了不少考生 ,…     

解题教学要引导学生学会如何思考——以一道递推数列求通项公式测试题的教学为例

正1问题提出在一次测试中有这样一道求递推数列通项公式的试题:已知数列{an}满足an+2=4an+1-4an,且a1=2,a2=5,求数列{an}的通项公式.这是一道常规求递推数列通项公式的试题,难度不大,也是高考经常考查的数列问题之一,主要考查化归与转化思想、等差数列与等比数列的概念与运算等知识.解决此类问题的常规方法是构造法及迭代法.但从学生     

高考与竞赛数列问题“新宠”——递推数列求通项大观

数列是高中数学中的重要内容,同时它又在高等数学中有着广泛的应用,因而其在高考数学中占有非同一般的地位.求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,根据递推数学求出数列通项既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,因此探求递推数列的通项问题近年来经常渗透在各年的高考试题和竞赛中,成为名副其实的“宠儿”,本文试着对高考与竞赛中几类常见的递推数列求通项问题作一些具体全面的探求,期待着大家有所启发.类型1由an与Sn给出的数列递推关系,可利用an与Sn的关系求通项已知Sn…     

从一道数列高考题谈起

数列是高中数学的重要内容之一,在高考和竞赛中占有非常重要的地位.而递推数列求通项一直是数列中的重头戏,近几年又成为高考和各类竞赛命题的热点.本文旨在通过对2010年重庆理科数学第21题第(I)问的研究,归纳出了形如an+1=can+∫(n)的递推数列的通项公式的一般求法,并通过具体例子阐述此递推式在近几年高考和竞赛中的应用.