辅助线的妙用

[题目]如下图,10个面积为1平方厘米的正三角形按下面方式排列:它们各自有一条边依次在同一条直线上,而且沿着这条直线,每个三角形底边的中点恰好是下一个三角形的顶点,那么,由这10个三角形所盖住的平面区域的面积是多少平方厘米?     

三角形内接正三角形存在性问题

文[1]、[2]论及三角形的内接正三角形的两个对偶不等式,但并没有给出内接正三角形的存在性的证明,若不存在,这两个不等式就没有研究的价值.本文即用构造性方法证明:任意三角形的内接正三角形都是存在的.     

七种途径证明两条线段相等

途径一：以“同一三角形中，等角对等边”为思路证明两条线段相等．[第一段]     

正弦定理和余弦定理等价性问题的再研究

文[1]对解三角形涉及的3个主要定理从多个角度进行了比较细致的分析和研究,对于提高我们解三角形的理论认识大有裨益.但对文[1]中的某些结论本人有不同的看法,现提出来与大家交流与探讨.1含有两条边和三个角的关系式是存在的,并且涉及三条边和三个角的关系式也是存在的     

有关三角形外心的两个充要条件

文[1]作者给出了三角形外心的两个性质,笔者通过探究发现文[1]给出的两个性质的逆命题也是成立的,因此得到了有关三角形外心的两个充要条件.     

三角形张角公式的类比

[1]根据[2]、[3]对三角形与四面体的类比性，把三角形的角平分线相关性质类比到了四面体二面角平分面上，得到两个结论。读后深受启发，既然三角形角平分线性质能类比到四面体，那么三角形张角公式能否类比到四面体呢？对此，笔进行了研究，得到如下两个结果。     

三角形外角平分线三角形性质再探

关于三角形外角平分线三角形文[1]已给出几个性质,本文再给出关于它的几个性质,以作为对文[1]的补充和完善.     

三角形的最小内接正三角形

1　问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2　最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是…     

涉及三角形旁切圆半径的几个立方型不等式

关于三角形旁切圆半径的不等式,文[1]、[2]给出了许多结果,受文[2]的启发,本文再给出涉及三角形边长和旁切圆半径的几个立方型不等式.     

关于四面体的一个问题的探讨

杨路先生在文[1]中提出了关于四面体的十个问题.其中的问题十是:“已知四面体某三面角的三个面角值,试确定它所对的三角形面的形状.”对于间题十,文[1]、[2]、[3]均指出:目前已知直三面角的情形,此时该三面角所对的三角形面是锐角三角形.并说对于一般情形,尚未解决.     

高线构成的三角形

符合某种条件的三角形的存在性,是三角形几何学研究中一个有价值的课题[1].众所周知,以三角形的三条中线为边长可以构成新的三角形,但以三角形的三条内角平分线或三条高线为边长却不一定能构成三角形. 文[1]、[2]讨论了三角形三条内角平分线为边长可构成三角形的条件及其性质.本文对高线构成三角形的相关问题进行探讨. 定理1 设△ABC的三边长为a、b、c,对应的高线长为ha、hb、hc,则ha,hb,hc为长     

也谈两个“类正弦定理”

文[1]介绍了锐角三角形中的两个"类正弦定理",其实在钝角三角形中也有完全类似的两个"类正弦定理",并与文[1]定理合并为:     

三角形的陪位周界中线

文[1]、[2]介绍了三角形的周界中线、界心的一些优美的性质,丰富了三角形的研究内容,读后颇受启发,作为续篇,本文再接着讨论有关三角形的陪位周界中线(即三角形的周界中线的等角线)的几个有趣性质,供参考.     

再论三角形外角平分线三角形的性质

文[1]、文[2]分别给出了三角形外角平分线三角形的若于性质.它作为与一个三角形有着特殊关系的三角形,应有很多优美的性质,就像矿藏一样,不将这些矿藏挖掘出来,总感到意犹未尽.基于这个想法,笔者进一步研究了三角形的外角平分线三角形.现将新得到的几个性质归纳总结出来以飨读者.     

三角形内接正三角形的个数

定义设E,F,G分别是△ABC三边AB,BC,AC上的内点(不与顶点重合),称△EFG为△ABC的内接三角形.(如图1)图1 文[1]指出任意一个三角形至少存在一个内接正三角形,但究竟有几个?文[1]未加解决.本文对这个问题作出解答.     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点平分三角形的周长，人们则称这一点为三角形的周界中点，并将以3个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形．文[1]、[2]分别给出了周界中点三角形的一些有趣性质，近来经研究，我们又发现了周界中点三角     

一个面积公式的启示

文[1]在圆锥曲线焦点与顶点三角形面积公式的基础上推出了另一个非常重要的三角形面积公式,在它的启示下,笔者又对圆锥曲线作了研究,得到了与文[1]类似两个三角形的面积公式,现说明如下,与读者共享．     

是可能还是必然

<正>1一个错误的推断把两个不相似的直角三角形分割,使一个三角形所分得的两个三角形分别与另一个三角形所分得的两个三角形相似.苏科版九年级数学把该问题作为学生自主探究的素材编入教材中.文[1]通过对学生思路的分析及纠正,获得在一定条件下的一种分割方法,从而得出结论,两个三角形不一定存在这样的分割:分割后的两个直角三角形、两个钝角三角形都相似,即:如图1,当α+β<90°时,存在这样的分割,否则不存在这样的分割.这是个自相矛盾的     

一道平面几何题数据的一般化探究

本文给出文[1]、[2]中例题1的一种简解,并把这类问题作一般化推广．即:三角形内部一点与各顶点的连线把原三角形分成六个小三角形,问要已知其中的几块面积,可求其他几块的面积．     

再论三角形外角平分线三角形的性质

文[1]、文[2]分别给出了三角形外角平分线三角形的若干性质．它作为与一个三角形有着特殊关系的三角形，应有很多优美的性质，就像矿藏一样，不将这些矿藏挖掘出来，总感到意犹未尽．基于这个想法，笔者进一步研究了三角形的外角平分线三角形．现将新得到的几个性质归纳总结出来以飨读者．