如何活用面积法

例1已知：如图1,矩形ABCD中,E是AB的中点,将△ADE沿DE折叠后得到△DDE,且点G在矩形ABCD内部,延长DG交BC于点F,F恰好是BC的中点,求AB/AB.     

构造特殊四边形解题

有些几何题，若能根据题目内容，运用补形法构造出特殊的四边形，不仅可使解题过程简洁明了，而且有助于培养学生的开拓意识和创造性思维．一、构造平行四边形例１如图１，已知在六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝１１，AF－CD＝３，求BC＋DE的长．解：延长FA、CB交于点G，延长FE、CD交于点H．由题意知，BC∥EF，CD∥AF，易证△ABG和△DEH均为等边三角形，四边形FGCH为平行四边形．于是有GA＋AF＝CD＋DH，∴AF－CD＝DH－GA＝DE－AB．∵AF－CD＝３，故DE－AB＝３．因AB＋BC＝１１…     

一道平几命题的多方探讨

初中《几何》第二册习题二十二的第8题: 命题矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足.求证:DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2). 该题的结构严谨,综合性和规律性较强,而且解法多变. 一、解法探讨 1.面积法将结论变形为:DE·(a~2+(b/2)~2)~(1/2)=ab.等式的右边ab恰好是矩形ABCD的面积,由此联想到利用面积来证明该题.连结DM(图1).不难看出S_(△ADM)=1/2S_(矩形ABCD),即     

梯形问题中辅助线的常见添法

一、作梯形腰的平行线例１如图１，已知等腰梯形的两底差等于腰长，求底角度数。分析：只要过D作DE∥AB交BC于E，则有EC＝BC－AD＝CD，又CD＝AB，所以DE＝DC＝EC，即△DEC为等边三角形，∠C＝６０°或１２０°。说明：当题设或结论与梯形两腰或两底差有关时，作腰的平行线，将上下底联系起来，往往能解决问题。二、作梯形对角线的平行线例２如图２，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝１，BC＝４，AC＝３，BD＝４，求S梯形ABCD。分析：我们将上、下两底联系起来看，得边长为３、４、５这一勾股数组，这启发我们平移对角线A…     

源于一道课本习题的中考题

原题 在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M为BC的中点，DE⊥AM，E为垂足，求证：DE=2ab/√（4a^2 b^2），（初中几何第二册P247第2题）     

如何选用勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理之一，其应用极其广泛．如何根据已知条件选用勾股定理及其逆定理呢？本文总结几条规律供大家参考．一、已知条件中有直角时，可考虑选用勾股定理．例1如图１，矩形ABCD中，AB＝８，BC＝１０，沿AF折叠矩形ABCD，使点D刚好落在BC边上的E点处，求CF及折痕AF的长．（２００２年泰州市中考试题）解：由折叠关系可知△AEF≌△ADF，故AE＝AD＝１０，EF＝DF．在Rt△ABE中，由勾股定理有AB２＋BE２＝AE２，故８２＋BE２＝１０２，解得BE＝６．∴CE＝BC－BE＝１０－６＝４．在Rt△…     

一道中考题的由来及解法

题目 已知如下左图,矩形ABCD中,AB=5,AD=20,点M分BC为BM:MC=1:2,DE垂直于AM,E为垂足。求DE的长。 (1993,天津市中考试题) 此题是由《平面几何》第二册P52第8题“已知矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E是垂足(如上右图)。求证:DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2)”经特殊化、改变条件、推     

我解一道求值题(初二、初三)

题如图1,AC是矩形ABCD的一条对角线,线段EF垂直平分AC,交BC于E,交AD于F.已知AB=9,AD=12,AC与EF交于点G,求EF的值.思路1 用相似三角形在Rt△ABC中,运用勾股定理可得AC=15,因为EG上AC,AB上BC,∠ACB为公共角,     

一道课本习题的演变和引申

题 如图1,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM.E是垂足.     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

与三角函数有关的证明问题

几何学习中，有时会遇到一类与三角函数有关的证明问题。解答此类问题的关键在于利用或构造直角三角形，将三角函数转化为线段的比加以考虑。例１如图△ABC中，以BC为直径的⊙O和AB、AC分别交于D、E。求证：DE＝BC·cos∠A。证明：连BE，因为BC为⊙O的直径，则∠BEC＝９０°，从而△ABE为Rt△，cos∠A＝AEAB。∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB。∴AEAB＝DEBC。又∵cos∠A＝AEAB，∴DE＝BC·cos∠A。例２如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，C在⊙O上。求证：ctg２∠BOC２＝ADBD。证明：由…     

数学思维方法A、B、C——方程思想(4)

方程思想在初中数学中是应用最广泛的思维方法．在各类考试中常占５０％左右，一般是代数中形形色色的应用题，无不依赖于建立方程（组）来解决，这在前几讲中已获得充分展开．上一讲中其在几何方面的应用也见端倪，在这里让我们再看一些实例，以便深入理解这一好方法的精髓．例１如图１，矩形ABCD中，AB＝１６，BC＝８．将矩形沿对角线AC折叠，点D落在点E处，且CE与图２南东西北EAB交于点F，试求AF之长．分析：∵△ACD≌△ACE，∴AD＝AE＝８，CE＝CD＝１６．∠BAC＝∠ACD＝∠ACE．∴AF＝CF．设AF＝x，则BF＝１６－x，…     

比例在几何证题中的应用

学习了《相似形》一章后，我们可以借助比例来证明很多类型的几何题．一、证明两线段相等例1如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于E，BM交CN于F．求证：CE＝CF．证明　由已知易得二、证明两角相等例2　已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C．证明　　延长BA、CD交于点E（如图2）．三、证明线段不等例3　在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于点F．求证：AE＜AF．证明　　过B作BG∥EF交AC延长线于G（如图3），则AG＞AC＝AB．四、证明线段和…     

折折叠叠(二)

（四）折折叠叠有利于激发学生的创造思维学生创造的火花，往往可以在活动中得到激发与升华．而折折叠叠活动在融入思考以后，常常可以触发灵感，产生创意．例６用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？本题由于方法的灵活性与步骤的不确定性，因而思考有较大的自由空间．［解法一］如图６－甲，先将矩形ABCD（BC＞AB）对折，使AD与BC重合，折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△AB'E，沿着EB'线折叠，就得到等边三角形EAF．这是书上的方法．（提示：设P为AE的中点，在Rt△AB'E中，由PB'＝１２AE＝PA，得∠１＝∠３，易证…     

活用面积比 巧证几何题

在一些涉及相似三角形的几何证明题中，有关面积之比的重要性质在证题中发挥着重要的作用．灵活运用面积比，可以巧证几何题．例１如图１，已知：△ABC中，∠C＝９０°．求证：AC２＋BC２＝AB２．这是大家熟悉的勾股定理．它的证明方法很多，利用相似三角形的面积之比进行证明，是其中一种较好的证明方法．证明：作CD⊥AB于D．∵∠ACB＝９０°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．∴S△ACDS△ABC＝AC２AB２，S△CBDS△ABC＝BC２AB２．∴AC２AB２＋BC２AB２＝AC２＋BC２AB２＝S△ACD＋S△CBDS△ABC＝１，∴A…     

一道竞赛题的多角度审视

1992年沈阳市“育才环”初中数学邀请赛有这样一道试题：在四边形ABCD中，着∠B＝∠＝90°，∠＝120°，则这是一道四边形问题，解此题的指导思想是：通过作适当的辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，辅助线的作法有如下10种：1．作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F（如图1），则FEBC为矩形，∠ADE＝30°，∠DCF＝30°．若没AE＝a，HF＝b，则AH＝2a，DE＝，CD＝2b，所以AB＝2．作CE∥BA交AD于E，EF⊥AB于F（如图2），则EFBC为矩形，∠AEF＝30°，∠DCE＝30°．若设AF＝a，DE＝b，则AE＝2a，CE＝BF＝2b，CD＝所以AB＝…     

证一道题 弄清一串

命题已知：如图亚,E为AC上一点．求证：（1）若AB＝AD,BC＝DC,贝uBE＝DE;（R）若AB＝AD,BE＝DE,贝uBC＝DC;（皿）若BE二DE,BC＝DC,贝uAB＝AD．证明（1）在凸ABC和西ADC中,AB＝AD,BC＝DC,AC＝AC,凸ABC＿凸ADC．／l二ZZ在rtABE和rtADE中,AB＝AD,士1＝ZZ,AE＝AE,凸ABE＿凸ADE．删一脱．类似地,可证（D）、（皿）成立．掌握了此题的证明思路,《几何》教材第二册中的几道习题就迎刃而解了．例1已知：如图2,AB＝AC,EB＝EC,AE的延长钱交BC于D．求证：BD＝CD．（P46第11题）简析…     

面积法巧解中考题

题如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=20,点M分BC为BM:BC一1:2,DE垂直于AM,E为垂足.求DE的长.(1993年天津市中考数学试题)     

一道平几习题的演变

习题：在圆内接△ABC中，AB=AC，经过点A的弦与BC和BC分别相交于D、E，如图一。求证：△ABD△AEB。（九年义务教育教材《几何》第三册，第100页第12题）这是一道典型的圆内接三角形问题。教学时，对题没、结论等进行多视角的重构、演变，一题多练，对于揭示知识间的内在联系，增强习题教学的趣味性，提高教学效果，培养学生思维的灵活性和应变能力，是十分有益的。演变之一：保留条件，更换结论在题没条件下，求证：是定值。演变之二：更换条件，保留结论把条件AB=AC更换为AB·CE＝AE·CD，求证结论不变。演变之三：交换条件和…     

应用平行四边形的性质证题

应用平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质,可以证明许多几何命题,现分类举例如下．一、证明线段相等例1ΔABC中,AB＝AC,在AB上取D点,在AC的延长线上取E点,使CE＝BD,连结DE交BC于C．求证：DC＝CE．证明作DF人AC交BC于F,连结DC、EF,则／DFB＝／ACB＝／B．DF＝IJB＝CE．故DF其DE．DFl《为平行四边形…．DG＝cy．Dn回＊且〔二、证明两角相等例2如图2,四边形ABCD中,AB＝DC,ADJBC,且AB＄t：D．求证：／B＝／C．证明作ACVDC．ADffBC,四边形ACCD是平行四边形．DC＝AC．而AB＝DC,、…