三角形内心的一个性质及心距公式

小等式呵以推广为: 命题 J(1-AABC巾,如果A、B、C为一f『J J眵的i个内角,则f『c。s譬 c。s唼 c。s百C≤3cos蠡.(kE N) ⑧"it明:小失一般惟,没C为锐角,则警,荨,磊均足黼故。∞喾>叭。。c譬 -g->吣。。》。....c。s百A c。s iB c。s等 cos磊 A.B A B_2cos擘c。s Tk k ● C.霄 C 丌. 2cos_k t厂3kc。s兰≯-zc。s喾c。s等协∞譬。∞害≤2瞄警橼∞譬 A B c 昙=2·2cos——面—上 A B—C一要’c∞——1r一 塑,. 3 . 霄≤4co。丽。4cO.S羲·故不等式③成立.关于分式不定方程的一个命题 张延卫(江苏省沭阳县教委.223600) 命题 设口i:a,-…     

一道好题三种巧解

题目 如图,在△ABC中,BC一2,AB一1,则么C的取值范围是 .(1相似文献   

一个三角不等式的再推广

《中等数学》1997年第3期第25页上安振平张巨轮对大家熟知的一类三角不等式:在△ABC 中,如果 A,B,C 为三角形的三个内角,则有     

一个三角不等式的初等证明

在△ABC中,如果A、B、C为三角形的三个内角,已有大家熟知的三角不等式:     

一个新的三角不等式

文[1]P219列出了如下有趣的三角不等式： 在△ABC中,三内角A、B、C所对三边长依次为a、b、c,半周长与内切圆半径分别为p、r,则有 经过类比探究,笔者最近得到了一个与（1）式非常类似的新的三角不等式：     

一个三角不等式的演变

<正>我们知道,在锐角△ABC中,有cos A+cos B+cos C≤3/2;又若△ABC为直角三角形,不妨设C为直角,则cos A+cos B+cos C=cos A+sin A=2(1/2) sin(A+45°)≤2(1/2) <3/2.综上,我们有如下三角不等式:在锐角或直角△ABC中,有cos A+cos B+cos C≤3/2.对于这个三角不等式,我们不禁联想到:x、y、z应满     

一个三角不等式的再改进

本刊1995年第11期第35页上刘宝文对一个三角不等式作了如下推广: 在△ABC中,若A、B、C为三角形三内角,则有sinA/n sinB/n sinC/n≤3sinπ/3n①接着本刊1996年第9期第34页上安振平、     

关于三角不等式的一种代换技巧

本文介绍早已被初等数学研究工作看熟练掌握但尚有很多人不了解的关于三角不等式的一种代换技巧.设 A、B、C 是△ABC 的三个内角,则易知(π-A)/2、(π-B)/2、(π-C)/2也是某一个三角形的三个内角.所以,如果已知一个三角不等式f(A,B,C)≥0对任意的△ABC 成立,那么将这一个不等式中的 A、B、C 分别代之以(π-A)/2、(π-B)/2.(π-C)/2以后得出的不等式f((π-A)/2、(π-B)/2、(π-C)/2)≥0     

一个三角不等式的加强

命题 对o≤七≤2 2/2,在△A8c中成立不等式∑sinA≤掣州∑sin号一争(1)(《中等数学》1 995年第1期P17) 现加强为:对o≤^≤3、//了,在△ABc中有 ∑sM≤学州∑咖导一争(2) 证明 先证在△以Bc中有 ∑sin2A≤掣十3厅[∑。。。A一知 (3) 由三角形恒等式 n 厶sin24—4sin4sinBsinC. ∑c。s以=- tsin导sin詈sin导知 不等式(3) 仁》4sin月sinBsinC ≤t·s、/厂了sin导sin·导sin导 ㈢c。s导c。s鲁c。s导≤生等三. ㈢。。。虿。。。i。。。i≤—百一’ 而这是显然成立的.再对(3)式作变换(么A,么B,么c)一(9卜等.90一譬,9俨等御得∑咖A≤半 3厅(…     

对一道数学题的思考

<正>在初中数学《三角形内角和定理》的学习中,我们常遇到如下问题:一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3,那么这个三角形是()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)等边三角形本题通常的做法是:根据三角形的内角和列方程求解,设3个角分别为:x,2x,3x,则     

R.R.Janic不等式的加强及应用

<正>本文约定:△ABC的三边长为a、b、c,三个内角为A、B、C,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为s,面积为△,∑表示循环和,∏表示循环积.R.R.Janic曾经建立了如下不等式[1]:     

一个几何不等式的加强

<正>本文约定:△ABC的三边长为a、b、c,三个内角为A、B、C,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为s,面积为△,∑表示循环和,∏表示循环积.匡继昌著《常用不等式》书中有这样一个不     

全等三角形检测题

一、选择题1.三角形3个内角的比是1:2:3,则最大的内角是( A .600 B.900 C .1 200 D.1500 2.下列条件中,能够组成二角形的是(). A.3条线段的比为1:2:3 B.3条线段的比为2:3:4 C.3条线段的比为3:4:7 D.3条线段的比为5:2:3 3.如图l,若乙BCD=mo,乙BCD的大小比乙A的度数的2倍还多lo“,则乙B的大小为(). A A·(晋 5)。B·(晋一5)。C图1 C.(m 5)o D.f擎一10 \2 4.如图2,AD、BE、CF分别是△ABC的高、中线、角平分线,下列表达式中错误的是(). A .AE=C召B.乙A DC=90。C.乙c魂D二乙C召E D.乙ACB二2乙ACF 5.在锐角△ABC中,…     

1989年全国高中数学联合竞赛试题

第一试 一、选择题 1.若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数:二(eosB一sinA) i(sinB一eo,A)在复平面内所对应的点位于(). (A)第一象限.(B)第二象限. (C)第三象限.(D)第四象限. 2.函数‘(x,一c,gx 告ar·s‘nx的值域是().(A’‘一,·(B,〔一竿,琴〕·‘C,(一誓,辈)·(D)〔一子,f〕· 3.对任意的函数广(x),在同一个直角坐标系中,函数;=f(x一1)与函数万=广(一x十1)的图象恒(). (A)关于x轴对称. (B)关于直线x=1对称. (C)关于直线x=一1对称. (D)关于万轴对称。 4。以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中,锐角三角形的个数为 )。…     

一个三角形不等式的证明--兼擂题(61-1)解答

《中学数学教学》2 0 0 3年第 3期有奖解题擂台( 61 )中 ,严复卓老师提出了如下一个三角形不等式 :在△ABC中 ,求证cosA·cosB·cosC≤ ( 1 -cosA ) ( 1 -cosB) ( 1 -cosC) ,等号当且仅当A =B =C =π3 时成立。本文给出上述不等式的两种证明方法。证法一　设A≤B≤C ,则当C为直角或钝角时 ,cosA >0 ,cosB >0 ,cosC≤0 ,1 -cosA >0 ,1 -cosB >0 ,1 -cosC >0 ,不等式显然成立。当C为锐角时 ,此时△ABC为锐角三角形 ,设A、B、C的对边分别为a、b、c,则a≤b≤c且a2 +b2-c2 >0 ,b2 +c2 -a2 >0 ,c2 +a2 -b2 >0 ,由余弦定理 ,可将问题转…     

Mollweide公式在解三角形内三角函数题的应用

德国天文学家K·B·Mollweide(1774—1825)发现的Mollweide公式指出:若△ABC的三内角A、B、C所对边分别为a、b、c,则有(a b)/c=(cos(A-B)/2)/(sin(C/2)) ,(a-b)/c=(sin(A-B)/2)/(cos(C/2))本公式揭示了三角形内六个基本元素(即三边和三内角)间的关系,因此在解三角形内的三角问题、尤其是解某些同时涉及边与角的三角函数题时,具有其独特的作用.本文先给出Mollweide公式的一个推论,再举例说明它们的应用.     

不等边三角形两条外角平分线相等的一个充要条件

引理1对任意乙A,乙B,有恒等式 B)、、产尸B一2 s*n,cOS(普士S、·:一(A (51·鲁不S‘·号)·(一甲士S;·普S、·粤)· 引理2在△ABC中, (a 乙 c),则、,.1飞已夕=.万. 石in兰=‘Z匡三亘正三)‘ ZY乙e定理在不等边△ABC中,乙A,匕B的外角平分线相等的充要条件是:罕为之二夕 P一b邵,。卜扬一由偌,一了一目U卜‘{夕lJ’一尸刊德. U 证明必要性.设乙A,乙B的外角平分线分别为AD夕B刀,则D,E位置有四种可能:(i)了月,匕C为锐角,匕B为钝角,则B位于DC之间,C位于且E之间(如图);(2)乙A,乙五为说角,乙C为钝角,C位于BD间,同时户性于A刀间…     

不等式单元达标选择训练

1.若a>b,则下列不等式一定成立的是 >几一bA.上一乙D.“一石>0澎粼熬幸2·“为有理数,且a并O.则下列各式中一定成立的是不 冲A.矿 1>l B .1一矿1 Dl一上>13,如果价b,则下列结论中错误的是(A.a一3>吞一3 B.3a>3乙CD.一“>一b吞一3 扮“一34.不等式}二一200引<2003的解集是()A%>4 006 B.x<一4 006 C.2003<劣<4006 D.0<久<40065.如果a<一1,则()A.a>一。B.。<一a C.a=一。D.a与一。关系不定6.不等式组!2(‘一3)(3(‘/) l,曰、一5(%一1少>2(3一滋)B .2个C.3个的整数解一共有(A .1个D4个7.已知不等式组2(二十2)众…     

一个三角形不等式的逆向

刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC…     

利用几何图形证明三角不等式

利用几何图形证明三角不等式就是化三角函数为几何图形。利用图形中的不等量关系来证明三角不等式。这样能避免复杂的三角运算,有较强的直观性,并能使一些三角不等式的证明化难为易。现举例说明如下。一、根据三角函数的定义,把三角函数化为线段比。例1 在锐角三角形ABC中,求证: ① cosA cosB cosC1 利用同圆中所对的圆周角大的弦也大(当圆周角是锐角时)。证明:①图1中,AE、BF、CD分别是三角形ABC三边上的高线 A、B、E、F四点共圆,又∵△ABC是锐角