从一道习题的解答,看学生的思维能力

习题:已知曲线C_1:5x~2+9y~2=45,C_2:y~2=x+m,问当m为何值时C_1和C_2相交,(1)有一个交点;(2)有二个交点;(3)有三个交点;(4)有四个交点.这个习题是关于曲线间的交点问题,所以学生较多地用图象法解答:因为C_1是一个椭圆,方程是x~2/9+y~2/5=1;C_2是拋物线,所以由图象易知(1)当m=-3时,C_1和C_2有一个交点;(2)当m=109/20(C_1和C_2相切的条件),或-3相似文献   

关于两类重要的曲线系

一、过曲线交点的曲线系在十年制统编教材中提到: 设二曲线C_1=0,C_2=0,那么λ_1C_1+λ_2C_2=0(λ_1和λ_2不同时为零)是过C_1、C_2交点的曲线。这是因为     

错在哪里

题:曲线C_1的方程是ρ=cosθ,曲线C_2的方程是ρ=1 cosθ,求曲线C_1与C_2交点个数.解 两曲线方程联立 ρ=cosθρ=1 cosθ得:cosθ=1 cosθ,即1=0,亦即θ无解,所以C_1与C_2的交点个数为0个.解答错了!错在哪里?错在忽视了极点的极角的任意性.     

一个组合题的误解分析

《高中代数疑难解析》(河南教育出版社)P285例4:圆周上有10个不同的点,任意两个点都可以联结一条弦,(1)这些弦最多能有几个交点?(2)这些交点最多能有几个在圆内? 该书对(1)的解答如下:“.我们知道这10个点最多能连结C_(10)~2=45条弦,……有C_(45)~2=990个交点,……最多有990个交点。”     

对统编教材上一道习题的商榷

在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)一书第194页上,有这样一道习题: 23.证明:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0时,二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+F_2y+F_2=0的交点同在一个圆上。这道题的题意是清楚的: 即:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)且≠0是二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 (1) A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0 (2)的交点在同一个圆上的充分条件。换句话说:只要有了条件(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0(1)和(2)就有交点,且交点在同一个圆上。但笔者认为:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0这个条件对本题的结论既不充分也不必要。     

两二次曲线四交点共圆的充要条件

六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。     

添加辅助圆解一类解析几何题

设有两相交圆C_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=0C_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0则方程:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0①当λ≠-1时,表示的图形是经过 C_1、C_2交点的圆系(不包括 C_2)当λ=-1时,①式变为     

两圆正交定理及其应用

过两圆的交点作两圆的切线,二切线所成的角称两圆的交角。若交角为直角,则称两圆正交。 [定理] 已知☉C_1:x~2 y~2 d_1x e_1y f_1=0,☉C_2:x~2 y~2 d_2x e_2y f_2=0,则两圆正交的充要条件是d_1d_2 e_1e_2=2(f_1 f_2)(注:大前提中已要求是圆,即d_i~2 e_i-4f_i>0,i=1,2) 证:由平几知,过两圆交点A的切线分別过C_2,C_1,故二圆正交的充要条件是 r_1~2 r_2~2     

四点共圆的充要条件

本文给出两条二次曲线,两条直线与一条二次曲线,四条直线的四个交点共圆的充要条件。 定理1 设二次曲线 f_i:A_ix~2 B_ixy C_iy~2 D_ix E_iy F_i=0(i=1,2)。若f_1,f_2有四个交点,则这四点共圆的充要条件     

初等数学教材研究一例——关于直线束方程的备课笔记

定理设l_1:A_1X+B_1Y+C_1=0;l_2:A_2X+B_2Y+C_2=0是相交的两条直线,那么l:A_1X+B_1Y+C_1+λ(A_2X+B_2Y+C_2)=0(1)是经过l_1和l_2交点的直线束方程(不包括直线l_2),式中的λ是任意常数。学生学习这段教材照理不应当出现困难,但通常的教材和参考资料中,对此定理的证明不符合学生的思路,使得学生只能被动的接受,得不到多少新的启发,相反地还留下了不少疑问,并且这些疑问在以后的教材中亦不能得到妥善的解决。因此,对这个定理必须很好的进行研究。这个定理可以分成两个部分:(Ⅰ)一条直线l的方程如果具有(1)的形状,那么它一定经过l_1、l_2的交点;(Ⅱ)一条直线l如果经过l_1、l_2的交点(l_2除外),那么它的方程一定可以写成(1)的形状。     

巧用直线系方程,妙解几何问题

<正>带有参数的直线方程我们可称之为直线系,巧用直线系的相关知识解决直线与圆有关的试题,有时会使问题得到简化,起到事半功倍的效果。下面我们就举例来说明。一、平行直线系例1设直线y=2x+a与圆(x-1)~2+(y-2)~2=4有两个不同的交点A、B,求a的取值范围。分析:平行直线系指与l1:A_x+B_y+C_1=0平行的直线,可设为A_x+B_y+C_2=     

多重参数间互相制约条件的探求

近年来，在各省、市各级各类高考模拟考试或全国高考或联考中，出现了一类新的命题形式──探求多重参数间相互制约条件的问题．这类问题考生普遍感到束手无策．本文试图通过一些具体的例子来阐述这类问题的解法与技巧.一、运用韦达定理例1抛物线C_1:y=x~2 2ax b与x轴的交点为A、B，以AB为直径的圆为C_2，①求C_2的方程；②为使C_1的顶点在圆C_2的内部，a，b满足什么条件．解设点A，B的坐标分别为（x_l，0）、（x_2，O），以y=0代入C_2方程得：x~2 2ax b=0则有:x_1 x_2=-2a,x_1·x_2=b设P(x，y)为C_2上任意一点，∵PA⊥PB，∴C_2的…     

仔细观察 探索规律

问题一两条直线相交有一个交点,三条直线相交最多有几个交点?四条直线相交呢?你能发现什么规律?分析:1、画出图形直接观察,找出交点个数。2、列表比较、探索规律直线条数2条3条4条……n条交点个数1个3个6个变化规律2(2-1)/23(3-1)/24(4-1)/2……n(n2-1)从上述直接观察并比较归纳得出:两条直线相交只有一个交点,三条直线相交最多有三个交点,四条直线相交最多有六个交点,……,一般地,n(n>1)条直线相交最多有n(n2-1)个交点。问题二在一条已知线段上取一点(端点除外),这点把这条线段最多分成三条线段,在这条线段上取两点呢?取三点呢?你能发现什…     

四点共圆的充要条件

定理1 设有二次曲线f_i:A_ix~2 B_ixy C_iy~2 D_ix E_iy F_i=0(i=1,2)。如果f_1与f_2有四个交点,则这四点共圆的充要条件是:     

元旦趣题

1.一个凸1993边形中,任意三条对角线都不相交于一点,问全体对角线将它分成多少个区域。解:因为每去掉一条对角线,就减少a+1个区域,(其中a为这条对角线与其他对角线的交点个数)逐步将C_(1993)~2-1993=1993×995条对角线去掉,最占只剩下一个区域。由于对角线的交点共有C_(1993)~4个,所以共有区域     

一个与圆锥曲线切线有关的性质

圆锥曲线上的四点构成了一个四边形,文[1]中得到了四边形相邻顶点上的圆锥曲线切线的相关交点与该四边形对角线交点及两对边延长线交点共线的性质（共线点有2组）,作者分别给出了在椭圆及抛物线形式下的证明,在证明的过程中,作者主要是利用斜率相等这一思路来证明相应四点共线．注意到在文[1]中,所关注的是四边形相邻顶点所在的圆锥曲线切线的相关交点与四边形对角线交点及一组对边延长线交点的共线性,若考虑的是不相邻的顶点处的圆锥曲线切线的交点呢,     

双曲线的几个重要性质

性质 1　双曲线的一条准线和任意一条渐近线的交点 ,与这条准线相对应的焦点的连线 ,必垂直于该渐近线 .　　　　　图 1证明　设双曲线为ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,如图 1所示 ,准线与渐近线有四个交点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ .任取一交点Ａ ,则Ａ ａ2ｃ,ａｂｃ .∵ｋＡＦ2 ·ｋＯＡ =ａｂｃ - 0ａ2ｃ -ｃ· ｂａ =- 1,∴ＡＦ2 ⊥ＯＡ .其它Ｂ、Ｃ、Ｄ三点类似可以证明 .性质 2　双曲线的一条准线与渐近线的两个交点 ,该准线相对应的焦点 ,以及对称中心这四点共圆 .证明　设双曲线为ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,如图 1所示 ,任…     

抛物线中的“四点”“五距”

一、抛物线中的"四点"抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的"四点"是指抛物线与x轴的两个A交点,与y的交点及抛物线的顶点(如图).抛物线与x轴的两个交点是A(x1,0),B(x2,0).其中x1、x2是当y=0时,方程ax2+bx+c=0的两根;     

妙用抛物线上定点位置解题

通常要证明:无论m为何实数,抛物线y=x~2-mx m-2与x轴必有两交点.只要证明判别式△=(-m)~2-4(m-2)>0.但观察发现:当x=1时y的值与m无关且为-1,即无数条抛物线过第四象限的定点(1,-1),又知此抛物线开口向上,因此它必与x轴有两交点.这就应用了抛物线上存在着定点这一特征而觅得解题捷径.下面再请看:     

用平面几何知识帮助解答平面解析几何题

<正>解答平面解析几何题往往运算量较大,而有时用平面几何知识却能减少运算量,下面举例说明这一解题方法.例1设直线l_1:a_1(x+1)+b_1y=0,l_2:a_2(x-1)+b_2y=0满足a_1a_2+b_1b_2=0,求l_1与l_2的交点P的轨迹方程.分析本题中有四个参数a_1,a_2,b_1,b_2,若直接求解,求出交点P的坐标后,再消去这四个参数,得出所求轨迹方程,消元技巧强,运算量大.而充分挖掘题