《直线与圆的方程》单元自测题

一、选择题(每题4分,共32分)1·“a=2”是“直线ax 2y=0平行于直线x y=1”的()A充分而不必要条件;B必要而不充分条件;C充分必要条件;D既不充分也不必要条件2·设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2 y2=2相切,则a的值为()A±4;B±22;C±2;D±23·直线x-2y 1=0关于直线x=1对称的直线方程是()Ax 2y-1=0;B2x y-1=0;C2x y-3=0;Dx 2y-3=04·设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边长,则直线xsinA ay c=0与bx-ysinB sinC=0的位置关系是()A平行;B重合;C垂直;D相交但不垂直5·若圆x2 y2-4x-4y-10=0上至少有3个不同点到直线l:ax by=0的…     

高一数学专题复习月考卷(一)——解斜三角形

高一数学专题复习月考卷(一)一、选择题1.C2.A3.B4.D5.D6.C7.B8.D9.C10.A11.A12.B二、填空题13.a14.-4115.60m16.0三、解答题17.证明:由cos2B cos2C=1 cos2A,得1-sin2B 1-sin2C=2-sin2A,所以sin2A=sin2B sin2C.由正弦定理得a2=b2 c2,所以A=90°.又sinA=2sinBcosC,cosC=sinB,2sin2B=1,sinB=!22,所以B=45°,C=45°.所以b=c且A=90°.18.解:如图,在△ACD中,S△ACD=21AC·ADsin∠1,所以sin∠1=A2CS·△AACDD=53.所以sin∠2=5!143.在△ABC中,由正弦定理BCsin∠2=siAn6C0°,所以BC=5.cos∠2=!1-sin2∠2=1114.所以BC2=…     

倍角三角形三边关系的一个命题

定理　在△ABC中 ,∠A =n∠B ,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边 ,a、b、c的关系记为 fn=fn(a ,b,c) =0 ,则有 (记N =14( 2n + ( -1 ) n +1+ 1 )fn=∑nk =1( -1 ) k- 1C2k - 1n b[4a2 c2 -(a2 -b2 +c2 ) 2 ]k - 1(a2 +c2 -b2 ) n- 2k+1-a( 2ac) n - 1.证明 :由 (cosB +isinB ) n =∑nk=0 Ckncosn -kB·(isinB) k=cosnB +isinnB ,得　sinnB =∑Nk=1C2k- 1n ( -1 ) k- 1sin2k- 1B　·cosn - 2k+1B .①又由sinAsinB=sinnBsinB =ab ,sinnB =absinB ,代入①即得∑Nk=1( -1 ) k - 1C2k- 1n sin2k- 2 B·cosn - 2k+1B -a =0 .②由余…     

第二章《平行线与相交线》测试题

一、选择题(每题3分,计30分)1.65°角的余角是()A.35°B.125°C.25°D.115°2.在如图1所示的长方体中,和平面ABCD垂直的棱有()A.2条B.4条C.6条D.8条3.已知:如图2,l1∥l2,∠1=50°,则∠2的度数是()A.135°B.130°C.50°D.40°4.如图3,直线AB和CD相交于点O,则图中与∠AOC一定相等的角有()A.0个B.1个C.2个D.3个5.如果∠A是∠B的补角,∠B是∠C的余角,则∠A与∠C满足一个相等关系,这个关系是()A.∠A+∠C=90°B.∠A+∠C=180°C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°6.如果直线a⊥b,b⊥c,则a、c的关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.…     

错在哪里

题　在△ABC中 ,∠A =80° ,a2 =b(b +c) ,求∠B。解　在△ABC中 ,cosB =a2 +c2 -b22ac =c2 +bc2ac =c +b2a ,所以b +c=2acosB ,故a2 =b(b+c) =b·2acosB ,a =2bcosB ,即sinA =2sinB·cosB =sin2B。考虑到∠A的值及 2∠B的范围 ,可得 :∠A =2∠B或∠A +2∠B =1 80°,故∠B =40°或∠B =5 0°。解答错了 !错在哪里 ?我们检验一下 ,当∠B =5 0°时 ,∠C =5 0° ,可得b =c。故a2 =b(b +c) =b2 +c2 ,此三角形应为直角三角形 ,且∠A应等于 90°,与已知条件矛盾。问题出在哪里呢 ?实际上由b +c =2acosB到a =2bcosB为同一条件叠代 ,是…     

错在哪里

1.广西贺县黄田松树冈中学黄健有来稿(邮编;542807)题 在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,且∠C=2∠B,试证:C~2=b(a b).证明∵∠C=2∠B,∴∠A ∠B ∠C=∠A 3∠B=180°,∠A=∠180°-3∠B,∴sin∠=sin(180°-3∠B)=sin3∠B,从而有,∠A=3∠B.由此可得∠A=90°,∠B=30°,∠C=60“,∴a=2b.由勾股定理得 c~2=a~2-b~2=(a b)(a-b))=(a b)(2b—b)=b(a b).     

聚焦三角形的“不等”关系

一、任意三角形的“不等”关系在任意三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,一般“不等”关系有:①0B>C(?)a>b>c(?)sin A>sin B>sin C.例1在△ABC中,若sin,A=3/5,cos B=5/(13),求cos C的值.解由cos B=5/(13),可知0相似文献   

双圆半径的几何性质

本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC=     

关于三角形内心的两个不等式

定理　设△ ABC的内心为 I,R,R1 ,R2 ,R3 分别是△ABC,△IBC,△ICA,△IAB的外接圆半径 ,则有R1 +R2 +R3 ≤ 3R,(1)R1 · R2 · R3 ≤ R3 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时 ,(1)、(2 )取图 1等号 .证明　如图1,设 BC=a,CA=b,AB =c,因 I是△ABC的内心 ,则有sin∠ BIC=sin(180°- B+C2 ) =cos A2 .(3)由正弦定理及 (3)式可得R1 =a2 sin∠ BIC=2 Rsin A2 cos A2=2 Rsin A2 .同理可得R2 =2 Rsin B2 ,R3 =2 Rsin C2 .结合熟知的三角不等式sin A2 +sin B2 +sin C2 ≤ 32 及sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,可得R1 +R2 +R…     

外角平分线三角形中的类正弦定理

文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?…     

设K的妙用

在解有“比”的习题时 ,设 K可以使含“比”的项用 K的代数式表示 ,有利于思路的展开 ,达到顺利解题的目的。例 1 .在△ ABC中 ,已知∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶ 2∶ 3,求 a∶ b∶ c。略解 :设∠ A=K,则∠ B=2 K,∠C=3K,由∠ A ∠B ∠ C=1 80°,得∠ A=30°、∠ B=60°、∠C=90°。设 a=K′,则 c=2 K′。∴b=3 K′,∴ a∶ b∶ c=K′∶ 3K′∶ 2 K′=1∶ 3∶ 2。　　例 2 .如图 ,在△ ABC中 ,∠ ACB =90°,CD⊥ AB,若 AC=6,sin B=35。求 CD。略解 :由∠ACB=90°,CD⊥AB易得∠ B=∠ ACD。∵ sin B=35,∴ sin∠ ACD=ADAC=35…     

依托几何性质 优化解几求解过程(二)

六、巧用圆的有关几何性质【例8】设△ABC三内角A、B、C所对边依次为a、b、c,求证:直线xsinA+ay+c=0,bx-ysinB+sinC=0,x轴,y轴围成的四边形是圆内接四边形.证明:由正弦定理可得bsinA+a(-sinb)=bsinA-asinB=0,故直线xsinA+ay+c=0与直线bx-ysinB+sinC=0互相垂直.又x轴,y轴互相垂直,于是直线xsinA+ay+c=0,bx-ysinB+sinC=0,x轴,y轴围成的四边形是圆内接四边形.评析:如果解出四边形的四个顶点坐标,再求其外接圆方程,显然运算量不小.但注意到x轴,y轴互相垂直,到证明直线xsinA+ay+c=0与直线bx-ysinB+sinC=0互相垂直,根据平面几何知识"四边…     

垂足三角形周长和面积的简证

如图1,△ABC的角A,B,C所对之边分别为a,b,c.AD,BE,CF为三条高,H为垂心,则△DEF是垂足三角形.又命R和Δ分别为△ABC的外接圆半径和面积,文[1]给出了垂足三角形的周长l0和面积Δ0的公式:l0=4Rsin Asin Bsin C,(1)Δ0=2Δcos Acos Bcos C.(2)可惜其证明太长,现简证如下:先证(1)式.注意到B,C,E,F四点共圆,故有∠AFE=∠C.在△AEF中运用正弦定理,有EFsin A=sin∠AEAFE=cscions C A,所以EF=sinc C·sin Acos A.至此,EF与l0有两种表达式:其一,由于sinc C=sina A,所以EF=acos A.同理,FD=bcos B,DE=ccos C,因而l0=acos A b…     

解直角三角形及其应用

[知识要点]1 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,那么(1)三边之间的关系:　　　;(2)两锐角之间的关系:　　　;(3)边角之间的关系: sin A=　　　,cos A=　　　,tan A=　　　;(4) 面积S=　　　　　或S=12ch(h是斜边上的高) 2 解直角三角形的四种类型: (∠C=90°)(1) 已知两直角边a、b,则c=　　,tanB=　　,∠A=　　 (2) 已知一直角边和一锐角(a,∠B),则∠A=　　　, b=　　　,c=　　　　 (3) 已知斜边和一直角边(c, a),则 b=　　　,sin A=　　　,∠B=　　　 　　(4) 已知斜边和一锐角( c,∠A),则∠B=　　　, b…     

用方程思想解几何题

例1在△ABC中,∠A ∠B=100°,∠C=2∠B.求∠A、∠B、∠C的度数.     

正弦和角公式的构造证法

证法 1　如图1,设∠BAD=α,∠ CAD=β(0 <α,β <π2 ) ,过 B作BD⊥ AD交 AC于C,则有cosα=ADAB,cosβ=ADAC.又∵S△ B A C=S△ B A D+S△ D A C,∴ 12 · AB· AC· sin(α+β) =12 AB·AD· sinα+12 AD· AC· sinβ.两边同时除以 12 AB·AC,可得sin(α+β) =ADAC·sinα+ADAB· sinβ=cosβ· sinα+cosα· sinβ.运用诱导公式 ,易证α,β不是锐角时 ,式子仍然成立 .图 2证法 2　如图2 ,设∠BAD=α,∠DAC=β(0 <α,β <π2 ) ,作 BD⊥AD交 AC于 C,作BE⊥ AC于 E,则有 ADAC=cosβ,BDAB=sinα,ADAB=…     

等角共轭点一个性质的推广

定理　设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2　·c…     

确定抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)开口方向的另类方法

<正>1另类方法事实1若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,则(1)A、B、C三点不在同一直线上;(2)直线AB、AC、BC均不与x轴垂直.事实2平面直角坐标系中,A、B、C三点不在同一直线上,且直线AB、AC、BC均不与x轴垂直,则存在着唯一一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),其图象过A、B、C三点.事实3如图1,平面直角坐标系中,A、B两点是等高点(即两点的纵坐标相等),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A、B两点.若抛物线开口向上,则抛物线经过图中的1区、5区、3区,不经过图中的4区、2区、6区;若抛物线开口向下,则抛物线经过图中的4区、2     

解析几何复习检测题

一、选择题 1.设a、瓦‘分别是△ABC中匕A、乙B、匕C的对边,则直线xsinA十ay十c一。与bx一夕sinB+sinC=o的位置关系是 (A)平行(B)重合 (C)垂直(D)相交但不垂直 2.如果直线ax+by一4与圆C:尹+犷-4有两个不同的交.点,那么点尸(a,b)与圆C的位置关系是 (A)在国外(B)在圆上 (C)在圆内(D)不确定上的点的坐标,命题B:(x,,y,)是方程=5 in夕,=ese夕(0为参数)的解,则A是B的Xy!才、胜‘七、 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 8.将直线y一1一‘r绕点(l,0)顺时针旋转90“后,再向上平移一个单位,这时恰与圆…     

例谈不等关系在等式证明中的应用

我们在证明一些恒等式或者求解某些代数式时 ,如果从正面下手比较困难 ,可以考虑采用不等式的性质来得到等式 .道理很简单 ,即对于两个要求证明相等的量 A与 B,若能证明 A≥ B,又能证明 A≤ B,那么就可以得到 A=B.这是一种从侧面下手的迂回策略 .下面我们通过一些具体的例子来看看这种战术的效果 .例 1　设 sin2 A+ sin2 B=sin3( A+ B)且 0 相似文献