多角度探究一道希望杯赛题

题目三角式√6tan10°＋4√2cos80°的值等于——．（第23届“希望杯”高二2试）这道题内涵厚实,外延丰富,解法多样,妙趣横生,探究它,可以看到它的一些本质．分析1 首先易想到切化弦和诱导公式．于是有下面的基本解法：     

解三角函数问题要注意隐含条件

例1已知tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根,且α,β(-π2,2π),则α+β的值为A.π3B.-23π或3πC.-π3或23πD.-23π错解∵tanα+tanβ=-3√3,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13√-43=√3.又α,β(-π2,2π),∴α+β(-π,π).因此,α+β=-2π3或π3.选B.辨析错在忽视了tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个负根这一隐含条件.正解∵tanα+tanβ=-3√3<0,tanαtanβ=4>0,∴tanα,tanβ为方程x2+3√3x+4=0的两个负根,即tanα<0,tanβ<0.又α,β(-π2,2π),∴α,β(-π2,0),α+β(-π,0).又tan(α+β)=tanα+tanβ1-t…     

解三角函数问题要注意隐含条件

解三角函数题时,极易忽视隐含条件而致误,下面结合实例说明. 例1 已知tanα,tanβ是方程x2 3√3x 4=0的两根,且α,β∈(-π/2,π/2),则α β的值等于( ).     

两道课本例题的巧思妙解(高一)

题1利用和角公式计算(1 tan15°)/(1-tan15°)的值.(《数学》第一册(下)P18例3)原解因为tan45°=1,所以(1 tan15°)/(1-tan15°)=(tan45° tan15°)/(1-tan45°tan15°)=tan(45° 15°)=tan60°=3~(1/2).巧思活用和角变形公式.tanα tanβ=tan(α β)(1-tanαtanβ),只需将分子中的"1"转化为tan45°.妙解(1 tan15°)/(1-tan15°)=(tan45° tan15°)/(1-tan15°)     

一道奥林匹克竞赛题研究的新进展

赛题已知a、b、c≥0，a＋b＋c=1，求证√a＋1/4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3……（1） 这是2007年女子数学奥林匹克竞赛的一道试题．文[1]给出了该题的新证法；文[2]对此给出了如下一个加强式：     

三道中考“涉高题”的探究

<正>对初中学生来说,求tan 22.5°是一道看似涉及高中知识的所谓"涉高题".本文首先探讨在初中数学教学中如何解决这个问题,然后探讨三道中考试题.一、挖掘本质题1请设计一个以三角形为背景的情境并构造22.5°,求tan22.5°?分析构造45°的一半是解题的关键.解如图1,延长CB至点D,使BD=AB,连AD,     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

一道竞赛题的研究性学习

在2006年土耳其数学奥林匹克国家队选拔考试中,有如下一道不等式题． 问题1 已知正数x、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：27/4（x＋y）（y＋z）（z＋x）≥（√x＋y＋√y＋z＋√z＋x）^2≥6√3.     

一个不等式问题的多视角探究

题目:已知a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=6,求S=3√a2+b2+3√b2+2ca+ 3√c2+2ab的最大值. 这是2011年希腊奥林匹克数学竞赛的一道不等式试题.它是一个涉及到无理因式的多变量条件最值问题,此赛题结构形式简洁优美,题型常规中有特色,解法探寻耐人寻味,颇有研究价值.于此笔者从不同的视角入手给出这一问题的一些解法并得出原赛题的两个推广,供读者在学习和探究时参考.     

简证一三角题

题设x=tan 20°,求证x4-4(3)x3 6x2 4(3)x-3=0. 该题见<中学数学月刊>2004年第8期第48页.作者指出指数较高,系数复杂,证明有一定的难度.笔者认为证之甚易:     

一道高考题的另几种解法

2006年高考（全国卷Ⅰ）数学第20题是：在平面直角坐标系xOy中，有一个以点F1（0，-√3），F2（0,√3）为焦点、离心率为√3/2的椭圆.     

妙用拼图法求tan15°的值

如何求tan15°的值,是初中数学教学的一个经久不衰的话题.一副三角板中,我们用45°角分别与30°角和60°角均可拼出15°角,进而求出tan15°的值.本文在拼图时,努力拼出不同的图形,求值时,尽力采用不同方法,这样不仅能够培养学生发散性思维,也能提高分析问题和解决问题的能力.     

三角函数中九种变换

一、变公式要善于将公式正用、逆用和变形用,以开拓解题思路.例如:tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）可变形为tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）或tanα+tanβ-tan（α+β）=-tan（α+β）tanαtanβ等.例1求tan20°+tan40°+3^1/3tan20°tan40°的值.解:由tan60°=tan（20°+40°）=（tan20°+tan40）°/（1-tan20°tan40°）得tan20°+tan40°=tan60°（1-tan20°tan40°）=3^1/2-3^1/2tan20°tan40°.所以原式=3^1/2-3^1/2tan20°tan40°+2^1/2tan20°tan40°=3^1/2.二、变角度     

三角恒等变换思路的运用

三角恒等变换一直是高考的热点之一,无论是作为纯化简题还是复合题中的一步,三角恒等变换一直扮演着重要角色,三角恒等变换的运用也是多种多样.在这里,我用一个简单的小题举例,来分析一下三角恒等变换的具体运用方式求y=tan20°+4sin20°的值.     

解决二次根式问题中的数学思想

数学思想是解决数学问题的金钥匙,在解决二次根式的有关问题时,常用到如下几种数学思想: 一、方程思想 例1已知实数x、y、m满足√x+2+|3x+y+m|=0,且y为负数,则m的取值范围是(). (A)m＞6 (B)m＜6(C)m＞-6 (D) m＜-6 解析:由二次根式、绝对值的非负性,结合非负数的性质可知,√x+2=0,|3x+y+m|=0. 即｛x+2=0,3x+y+m=0. 解得｛x=-2,y=6-m. 因为y为负数,则有6-m＜0,解得m＞6. 故答案选A. 二、类比思想 例2(1)计算√8-3√1/2+√2=——; (2)计算4√1/2+3√1/3-√8的结果是().     

高考数学(22)题的背景与通式

1995年全国高考理工数学第(22)题:求sin~220° cos~250° sin20°cos50°的值.在必修教材中有明显背景,是由代数上册第193页例4:“求sin~210° cos~240° s1n10°cos40°的值”改换两个数据得到,并且这两道题的答案都是3/4.     

数学教学中对例题的挖掘

在数学教学中应注意例题的教学,特别是对例题的功能应进行深层次的挖掘,不能就题论题,例子分析完了思路就断了,而应该多想一想,这道例题告诉了我们什么,还有什么可挖掘的,是否能启迪我们得出更一般的结论或规律。 现行中师数学教材《代数与初等函数》第一册242页有这样一个例题:求证3~(1/2) √7<2√5.这是一个证明不等式的问题,宜用分析法,证明如下: 假设√3 √7<2√5 则有(√3 √7)~2<(2√5)~2,即√21<5 两边平方得21<25。 21<25恒成立,又因上面每步推理都可逆,所以原不等式成立。 回过头来再看原题,不等式左边两个被开方数3和7之和为10,右边是两个√5,如果也视作两个平方根,则被开方数之和也是10,它们的区别在于左边两个被开方数7和3之差是4,而右边两数相等,结论是左边小于右边。由此可启发学生作大胆猜想(1);若两数(正数)之和一定,则以相近两数的平方根之和为最大。为此,可举一特殊例子验证,如证明     

再谈一道竞赛题的证明

贵刊文[1]～[6]对第31届西班牙数学奥林匹克竞赛第2题：“若（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则z＋y=0。”进行了多种证明及推广,现再给出该题的两种证法．     

文科综合设计2

一、选择题 :在每小题列出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。如图是某考察队在 1 2月 2 2日观测到的太阳高度变化曲线。据此回答 1～ 3题。1 该考察队所在的地理纬度为Ａ .4 0°ＳＢ .2 3°2 6′ＳＣ .66°3 4′ＳＤ .73°2 6′Ｓ2 当该地太阳高度最大时 ,正好?..     

一道高考三角题的解法分析及反思

2005年高考湖北卷第18题: 在△ABC中,已知AB=4√6/3,cosB=√6/6,AC边上的中线BD=√5,求sinA.