圆内接正n边形面积最大的一个证明

本文是在指导中学生数学课外小组中提出,为使学过数学归纳法的学生看懂,采用了下面证法。证:用R表示圆的半径,S_n边形表示圆内任一n边形的面积,θ_1,θ_2,…,θ_n依次表示各边对应的中心角,S正n边形表示圆内正n边形的面积,因     

在复平面上讨论正多边形的一个性质

在初中现行数学教材中(见九年义务教育教科书几何第三册第155页),有如下定理,把圆分成n(n≥3)等分:(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;(2)经过各点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.书中仅给出n=5的证明.本文在该定理的启示下,利用线性代数与复平面知识,给出定理(1)的一般证明,并应用它来简化一些命题的解法.如果我们把圆心设在原点,正n边形的一个顶点设在(r,0)上(r表示圆半径),于是正n边形的训顶点所对应的复数依次是r,re(2π/n)i,re(4π/n)i,…re(2(n-1)π/n)i,在此可以用一个n维列.     

椭圆最大面积内接n边形的性质

正众所周知,圆的内接n边形当且仅当其为正n边形时具有最大面积.以此为基础,运用面积投影的方法[1],可以得到定理1.定理1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a0,b0)的内接n边形具有最大面积的充要条件是其各顶点的离心角(取[0,2π)内的值)从小到大成公差为2πn的等差数列,其最大面积为n2absin2πn.     

运用琴生不等式求椭圆内接n边形最大面积

数学通报1990年第8期刊登刘佛明同志的《椭圆一些问题的另一种解法》,刘文虽巧妙地求出椭圆内接n边形的最大面积为nab/2 sin 2π/n.但必须用椭圆与圆之间的变换关系与半径为r的圆内接n边形的最大面积为nr~2/2 sin 2π/n等较多的预备知识.这里简要地给出了求椭圆内接n边形最大面积的新方法. 椭圆     

谈圆面积公式的三个认识层次

圆面积公式有三个认识层次,这一点在教学中应该引起我们的重视。第一个认识层次是:“S=πr~2”来自于“S=(πr)r。”因为圆通过分割、拼摆可以转化为一个长方形,借助于求长方形面积的方法求得圆面积。πr虽然表示圆周长的一半,但它充当了转化后的长方形的长;r虽然表示圆的半径,但它充当了转化后的长方形的宽。这样认识圆面积公式有助于理解其推导过程,利于学生掌握和运用公式解决有关实际问题。第二个认识层次是:“S=πr~2”不仅反映了半径与圆面积的关系,同时还派生出圆的直径乃至圆的周长与圆面积的关系。于是这个基本公式又可引伸出“S=π(d/2)~2”和“S=π(C/2π)~2”,这样就为学生灵活运用公式去解决有关实际问题打下了基础。第三个认识层次是:在“S=πr~2”中,     

刘徽与“割圆术”

本文详细介绍了刘徽计算圆周率的方法——用单位圆的内接正n边形的面积逼近圆周率π,以及奇妙的加速计算技术,突出了该方法在思想上的创新性与启发性,并由此对中国古代数学的特点作了简要叙述。     

刘徽与“割圆术”

本文详细介绍了刘徽计算圆周率的方法--用单位圆的内接正n边形的面积逼近圆周率π,以及奇妙的加速计算技术,突出了该方法在思想上的创新性与启发性,并由此对中国古代数学的特点作了简要叙述.     

圆内接(外切)多边形面积的极值性质

关于定圆的内接n边形,本文用两种方法证明了,圆的内接正n边形面积最大．关于圆的外切多边形,本文引入了对偶多边形这一新的概念,从而得到了如下结果,在定圆的所有外切n边形中,以外切正n边形面积最小．     

r~2在解题中的应用

小学教学面积公式中,圆面积S=πr~2和扇形面积S=πr~2/360×n都涉及r~2的计算,不难理解r~2表示两个r相乘,由于圆周率π取固定值3.14,因此r是计算圆面积的充分条件。但r不是计算圆面积的必要条件,事实上,只要知道r~2同样可以使一些问题得解。教学中,教师可以设计一些类似的练习,并注意引导学生扩展解题思路,这样不但有利于解题技能     

独具匠心的圆面积教学

最近我看了一节录像课——圆面积教学。发现教师在揭示圆面积公式的几何意义时颇有独到之处。 一般教师教学圆面积都是将“圆化方”,如图(一),通过求长方形面积得出圆面积公式πR~2后,就     

单位正多面体的体积探究

我们知道,对于边长为1的正n（n∈Z,n≥3）边形而言,n越大,其面积越大．事实上,由正n边形的一个内角为（n-2）^π/n,据图1可知,单,位正n边形A1A2…An的面积为     

圆周率π的“后事”

圆周率π是圆周长与直径的比值.公元前三世纪,古希腊著名的学者阿基米德计算出π≈3.14.公元263年前后,我国的数学家刘徽,利用割圆术计算了圆内接正3072边形的面积,求得π≈3.1416.又过了约两百年,我国杰出的数学家祖冲之确定了π的值在3.1415926与3.1415927之间.祖冲之之后,阿     

一道奥林匹克竞赛题的推广

第16届加拿大数学奥林匹克竞赛试题第4题:一个锐角三角形的面积为1,证明在三角形内有一点到每个顶点的距离至少为(16/27)~4。 本文将作如下推广: 命题1 一个圆内接n边形的面积为1,若,此n边形的几个顶点不是同时分布在该外接圆的半个圆周上,则在该n边形内存在一点,它到每个顶点的距离至少为[2/nsin(2π/n)]~(1/2)     

小学数学教学应力求精讲多练

精是少和好的结合.“精讲”就是在教学过程中要重点突出,抓住主要矛盾.要做到精讲,首先,教师必须熟悉教材的前后联系,明确教材的重点和难点,针对重点狠下功夫.如讲授面积这一章时,求各种图形的面积中,只有长方形的面积可以直接求出,其它图形的面积都要利用长方形面积的公式间接求出.如讲圆面积时,用教具通过演示,学生就可以看出,由圆面积转化成长方形面积后,长方形的长等于圆周长的一半,宽就是圆的半径.因为圆的周长=直径×π,那么半个圆周长就是半径×π,从而推导出求圆面积的公式:圆面积=半径×半径×π.     

利用生成 促其探究 获取新知——由“老师,我能把圆环剪开吗”想到的

我在教学圆环的面积一课时,引导学生观察圆环教具后,要求学生自制一个圆环,并知道圆环面积等于外圆面积减去一个和它同圆心的内圆面积,用字母表示就是S=π×R2-π×r2=π(R2-r2)。在得出这一结论后,     

关于1的n次原根的性质及其应用

利用x~3=1的原根(ω,ω~2)解题的技巧是我们熟知的,而x~n=1的原根的性质,以及在解题中的应用则为鲜见,本文将就这一问题作些探讨。方程x~n=1的n个根,是单位圆的内接正n边形的n个顶点,令:ε=cos2π/n i     

环形面积可以用梯形面积公式进行计算吗

在教学环形的面积时,我们直观地看出环形的面积应该是外圆面积减去内圆面积,即S环形=πR2-πr2=π（R2-r2）.在圆的面积公式推导的启发下,我们猜想能不能把环形像分圆一样分成若干份,当分的份数很大时把它的每一份可近似地看成是一个梯形,如果把这些梯形拼在一起就可以近似地得到一个更大的梯形.     

也谈椭圆内接n边形面积的最大值问题

文[1]提出如下问题：“圆x^2＋y^2=r^2”的内接n边形中,具最大面积的是正n边形,     

学生学习圆面积公式的三个认识层次

第一个认识层次是S=πr~2来自于S=(πr)r。圆通过分割、拼摆,可以转化为一个长方形,我们可借助求长方形面积的方法求得圆面积。πr虽然表示圆周长的一半,但它充当了转化后的长方形的长;r虽然表示圆的半径,但它充当了转化后的长方形的宽。     

也谈数学教学中的类比

<正> “类比就是一种相似。”把两个数学问题进行比较,找出它们类似的地方,从而推出两个数学问题在其它一些属性也有相似的地方,这种从特殊到特殊的推理方法叫做类比法。 设圆的半径为x,则圆面积是圆半径的函数s=πx~2,圆周长也是圆半径的函数l=2πx,圆面积与圆周长有什么关系呢? 平面上的圆在空间中的类比概念是球,那么,类比推理,使我们也去探求半径为x的球,体积与半径为x的球面积之间,猜测也有这种关系,事实上,