数学奥林匹克问题

本期问题初173如图1,在正方形ABCD中,以图1点A为圆心、AB为半径画弧BD交AC于E,⊙O1与AB、AD相切且与BD内切,⊙O2与CB、CD相切且与BD外切,过点E作⊙O1的切线PE交CD于P.求证:∠APO1=∠CPO2.初174已知ABCD是一个正方形,点M(异于点B、C)在边BC上,线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F.(1)问:BE与DF谁更长?请说明理由.(2)若AB=1,求|BE-DF|的取值范围(点M取遍线段BC内部的每一个点).高173已知x、y、z∈R+,x+y+z=1.求证:x12-xy12-yz12-z≥2363.高174设S={1,2,…,n}.求最小自然数n,使当任意将S划分成两个子集时,总…     

一颗几何小明珠的三角解法

读了本刊1984年第二期转载的《几何学中的四颗小明珠》一文,很受启发。笔者试图用三角法给出第三颗小明珠的证明。通过有趣的探索,得出证明如下, 命题如图,在△OA_1A_2中,∠O=20°,OA_1=OA_2,∠OA_2X=20°,∠OA_1y=30°,求θ角。即∠A_2XY。分析为了求得θ角的大小,可设法列出满足题设条件的关于θ角的三角方程。为此就要引入适当的参数并应用正弦定理列出一些关系式,然后消去所引参数,即可得到关于θ的三角方程。求解此三角方程即可使问题获解。解∵∠O=20°,     

三角问题的等差数列解法

我们知道,如果a、b、c成等差数列.那么就有2b=a c;反之,若a c=2b,则a、b、c成等差数列.这时可设公差为d,于是a=b-d,c=b d.采用这种对称代换,会使许多三角高考题的解法新颖独特.例1 已知sinθ cosθ=1/5,θ∈(0,π),则ctgθ的值是_____.(1994年全国高考题)     

探究：在细节中萌生

笔者在阅读文[1]时,看到第205页上有如下问题：问题如果3个实数x、y、z满足x-y/1＋xy＋y-z/1＋yz＋z-x/1＋zx=0,那么,三数x、y、z之间会有什么关系？试证明你的结论.探究1在原文中,其解答利用了构造函数的办法,似乎难以想到．从题目的表面式看,它外形对称、和谐,给人以美的感受．     

妙用二元均值不等式证明不等式

二元均值不等式的应用十分广泛,无论历年的高考试题,还是各级各类数学竞赛试题,都有重要应用．本文意在探讨如何妙用二元均值不等式的各种变形证明一些不等式．     

数学高考综合训练题(2)

数学高考综合训练题（２）陕西省永寿县永寿中学安振平宁夏固原县张易中学李国旗第Ⅰ卷一、选择题１．设集合Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２５＋ｙ２９＝１｝，Ｎ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋（ｙ－１）２＝１｝，则Ｍ、Ｎ的关系是（）．Ａ．ＭＮＢ．ＮＭＣ．Ｍ∩Ｎ＝Ｄ．Ｍ∪Ｎ...     

一个代数不等式的两种初等证法

湖北杨先义先生在文[1]中提出了一个非常有趣的代数不等式: 已知x,y,z∈R+,x+y+z=1,则 (1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3(1)     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 2 5　如图 1 ,图 1△ABC的∠C =90°,延长AC到A′ ,延长BC到B′,使得AA′=BB′ =AB .证明 :从AB的中点O引直线OE ,必过△ABC的内心 .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 2 6　试求出所有的正整数对 (a ,b) ,使得ab -a2 +b + 1能整除ab + 1 .(吴伟朝　广州大学理学院数学系 ,51 0 4 0 5)高 1 2 5　若正方形A1A2 A3 A4的中心为O ,⊙O在正方形A1A2 A3 A4内部 ,P为⊙O上任一点 ,P到A1A2 、A2 A3 、A3 A4、A4A1的距离分别为d1、d2 、d3 、d4,则d3 1+d3 2 +d3 3 +d3 4为定值 .(徐　道　江苏省如皋…     

最值问题

最值问题是初中数学竞赛命题的热点内容,这种题型涉及变量多,条件多,且形式新颖,解法灵活多变。本文给出几种较常规的解法,供同学们参考。     

2004年高考数学模拟试题（文理合卷）（五）

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.已知f(x) =1+x21-x2 ,则下列关系中不正确的是 (　　 )A .f(x) =f( -x)B .f( -x) =f 1xC .f( ｜x｜) =f( -x)D .f( ｜x｜) =f -1x2 .设f:x→x2 是集合A到集合B的映射 ,如果B ={1,2 } ,则A ∩B只可能是(　　 )A .Φ　　　　　B .Φ或 {1}C .Φ或 {2 }D .{1}3.已知复数z=1+i,复数ω =z2 + 4z-2 ,那么ω的三角形式为 (　　 )A .2 2 (cos π4+isin π4)B .2 2 (cos3π4+isin3π4)C .2 2 (cos5π4+isin5π4)D .2 2 (cos7π4+i…