2001-2002年国内外数学竞赛题选解(三)

三、代数部分1.求所有实函数f、g、h :R→R ,使得对任意实数x、y ,有(x -y)f(x) +h(x) -xy +y2 ≤h(y)≤(x -y)g(x) +h(x) -xy +y2 .①(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克 (第一轮 ) )解 :由式①得(x -y)f(x) ≤(x -y)g(x) .易知f(x) =g(x)对所有实数x均成立 .于是 ,有(x -y)f(x) +h(x) -xy +y2 =h(y) .令x =0 ,得h(y) =y2 -f(0 )y +h(0 ) ,即h是一个二次函数 .定义f(0 ) =a ,h(0 ) =b ,将h(y) =y2 -ay +b代入 ,有(x -y)f(x) +x2 -ax +b -xy+y2 =y2 -ay +b ,即　 (x -y)f(x) +x(x -y) - (x -y)a =0 .由于x、y是任意实数 ,所以 ,f(x) =-x +a .经…     

第49届IMO预选题（三）

1．本届IMO第1题． 2．已知梯形ABCD满足AB∥CD,在CB的延长线上有一点E,在线段AD上有一点F,使得∠DAE=∠CBF．设直线CD、AB与朋分别交于点I,J,线段EF的中点为K,且K不在直线AB上,证明：点I在△ABK的外接圆上的充分必要条件是点K在△CDJ的外接圆上．     

第49届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第4题． 2．本届IMO第2题．     

第50届IMO预选题（一）

代数部分 1．求最大的整数k,使得下列命题为真．已知任意2009个非退化的三角形．将每个三角形的三边染上颜色,且一条边染上蓝色,一条边染上红色,一条边染上白色．     

第40届IMO预选题解答（下）

1.设n为大于等于1的整数,在x-y平面上由(0,0)到(n,n)的一条“路”是一条折线,这条折线从(0,0)开始每次或者向右(记为E)或者向上(记为N)运动一个单位,直到到达(n,n)。所有运动都在满足x≥y的半平面内进行。在一条“路”中形如EN     

第47届IMO预选题(上)

几何部分 1．本届1MO第1题． 2．已知梯形ABCD的上、下底边满足AB〉CD，点K、L分别在边AB、CD上，且满足AK/KB=DL/LC．若在线段KL上存在点P、Q，满足∠APB=∠BCD，∠CQD=∠ABC．证明：P、Q、B、C四点共圆。[第一段]     

二次方程性质的应用

（本讲适合初中）二次方程最重要的性质是判别式和韦达定理，下面通过一些例题给出关于二次方程性质的应用．     

宝山石头城的故事

很早就听说过宝山石头城的故事。宝山石头城位于丽江城北11公里处的金沙江峡谷中，那里有百余户纳西族人家，他们祖祖辈辈聚居在一座独立的蘑菇状的巨石之上，因而该处得名“宝山石头城”。宝山石头城建于元朝初年，当时管辖今天大约五个乡的范围。这里山川纵横，河谷幽深，有茂密的原始森林和丰富的动植物资源。由于独特的地理环境，这里的气候特点被人称为“十里不同天”：山头冷凉，河谷干热。宝山石头城东临奔腾咆哮的金沙江，市孤陡绝如削的岩可渡，西依层峦叠嶂的牦牛岭，北据峭拔险峻的太子关，四周山坡上辟有重叠连绵的层层梯田，犹…     

2005年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．     

存在性问题

存在性问题是初中数学竞赛的难点之一，常出现在代数、数论、几何等问题中．就形式而言，又有如下若干种情况：