第54届IMO预选题（二）

1．已知n为正整数．求满足下述性质的最小正整数k：给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1＋a2＋…＋ad=n（0≤ni≤1,i=1,2,…,d）,总能将这些数拆分为k组（某些组可以是空的）,使得每组中的数的和最大为1．     

2000年全国高中数学联合竞赛加试题另解

2000年全国高中数学联合竞赛异于标准答案的解法较多,许多证法或解法又比较接近,这里,根据来稿的先后及解法特点加以整理,使之成为广大数学竞赛爱好者的收藏资料。     

第51届IMO预选题（三）

几合部分 1．设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q．证明：AP=AQ．     

数学奥林匹克问题

本期问题高417平面上给定n个点A₁,A₂,…,A_n,满足对于任意的1≤i≠j≤n,均有max{i,j}≤A_iA_j≤i+j,其中,A_iA_j表示A_i、A_j两点间的距离.证明:n≤13.高418已知斐波那契数列{F_n}:F₁=F₂=1,F_n+2=F_n+1+F_n.证明:对一切x∈R,n≥2均有sun from（k=1）to n F_k|x-k|≥F_n+2+F_n-n-1.高419对任意的正整数n,函数f（n）为十进制下n²+3n+1的各位数字之和（即数码和）.问:是否存在整数n,使得f（n）=2 013或2 014或2 015?高420设△ABC的外心、内心分别为O、I,AI、BI、CI与△BIC、△CIA、△AIB的外接圆的不同于I的交点分别为D、E、F,过D、E、F分别作BC、CA、AB的垂线l_a、l_b、l_c.证明:（1）直线l_a、l_b、l_c交于一点K;（2）K、O、I三点共线.     

第39届IMO试题解答(下)

16.求最小的整数n(n≥4),满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d可以被20整除。 解:我们先考虑模20的不同剩余类,对有k个元素的集合,共有(1/2)k(k-1)个整数对,如果(1/2)k(k-1)>20,即k≥7,则存在两对(a,b)和(c,d),使aa b=c d(mod20),且a、b、c、d互不相同. 一般地,我们考虑一个由9个不同元素构成的集合,假设在这个集合中有7个或更多的元素属于模20的不同剩余类,则由前面的推导可知,能找出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d被20整除,假设在这个集合中至多有属于模20的六个不同的剩余类,则一定存在4个数,对模20是同余的,或有两对数分别对模20是同余的,对这两种情况,我们仍能找出a、b、c、d,使a b-c-d被20整除.     

2010年全国高中数学联赛天津赛区预赛

一、填空题(每小题7分,共56分) 1.设实数a、b、c满足 a2-bc-2a+10=0, b2+bc+c2-12a-15=0. 则a的取值范围是______. 2.满足a2+ab+b2=2010的正整数解 (a,b)构成的集合为________.     

第49届IMO预选题（四）

数论部分 1.设n是一个正整数,p是一个质数.证明:如果整数a、b、c(不必是正的)满足an+pb=bn+pc=cn+pa, 则a=b=c.     

第51届IMO预选题(二)

组合部分1.在一次音乐会上,有20名歌手将进行演出,对于每一名歌手,都有一名其他歌手的集合(可能是空集),使得他希望演出比这个集合中的所有歌手晚.问:是否存在恰有2010种歌手排序的方法,使得他们的希望都能满足?2.在一些行星上,有2~N(N≥4)个国家,每个国家有一面由N个单位方格组成的宽     

第41届IMO预选题解答(中)

代数部分 4.定义在非负整数集上、取值也在非负整数集上的函数F满足下列条件: