第47届IMO试题

第一天1.设I为△ABC的内心,P是△ABC内部的一点,且满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB.证明:AP≥AI,并说明等号成立的充分必要条件是P=I.2.设P为正2006边形.如果P的一条对角线的两端将P的边界分成两部分,每部分都包含P的奇数条边,那么,该对角线称为“好边”.规定P的每条边均为好边.已知2003条在P内部不相交的对角线将P分割成若干个三角形.试问,在这种分割之下,最多有多少个有两条好边的等腰三角形.3.求最小的实数M,使得对所有的实数a、b、c,|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|≤M(a2+b2+c2)2.第二天4.求所有的整数对(x,y),使得1+2x+22…     

对“金融数学”专业人才培养的探索与实践

针对我国培养金融数学专业人才的必要性及存在问题进行深入剖析,提出培养金融数学专业人才的具体方案和措施:优化课程设置模式,强化教学实验环节,提高整体师资水平。通过以上措施的施行,坚信能够为国家培养出高质量的复合型金融人才,以期在国际化的金融竞争中稳操胜券。     

2003年中国数学奥林匹克

第一天 ( 2 0 0 3 0 1 1 5)一、设点Ｉ、Ｈ分别为锐角△ＡＢＣ的内心和垂心 ,点Ｂ1、Ｃ1分别为边ＡＣ、ＡＢ的中点 .已知射线Ｂ1Ｉ交边ＡＢ于点Ｂ2 (Ｂ2 ≠Ｂ) ,射线Ｃ1Ｉ交ＡＣ的延长线于点Ｃ2 ,Ｂ2 Ｃ2 与ＢＣ相交于Ｋ ,Ａ1为△ＢＨＣ的外心 .试证 :Ａ、Ｉ、Ａ1三点共线的充分必要条件是△ＢＫＢ2 和△ＣＫＣ2 的面积相等 .二、求出同时满足如下条件的集合Ｓ的元素个数的最大值 :(1)Ｓ中的每个元素都是不超过 10 0的正整数 ;(2 )对于Ｓ中任意两个不同的元素ａ、ｂ ,都存在Ｓ中的元素ｃ ,使得ａ与ｃ的最大公约数等于 1,并且ｂ与ｃ的最大…     

2003年IMO中国国家集训队选拔考试

一、在锐角△ABC中 ,AD是∠A的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .二、设A {0 ,1,2 ,… ,2 9},满足 :对任何整数k及A中任意数a、b(a、b可以相同 ) ,a +b + 30k均不是两个相邻整数之积 .试定出所有元素个数最多的A .三、设A {(a1,a2 ,… ,an) |ai∈R ,i=1,2 ,… ,n},A是有限集 .对任意的α =(a1,a2 ,… ,an)∈A ,β =(b1,b2 ,… ,bn)∈A ,定义 :γ(α,β) =( |a1 -b1 | ,|a2 -b2…     

第44届IMO试题解答

1 .设S ={ 1,2 ,… ,10 0 0 0 0 0 } ,A为S的一个恰包含 10 1个元素的子集合 .证明 :在S中存在数t1,t2 ,… ,t10 0 ,使得下列集合Aj={x +tj|x∈A} ,j=1,2 ,… ,10 0中的任意两个都不相交 .2 .求所有的正整数对 (a ,b) ,使得 a22ab2 -b3 +1为正整数 .3.给定一个凸六边形 ,其中的每一组对边都具有如下性质 :这两条边的中点之间的距离等于它们的长度之和的 32 倍 .证明 :该六边形的所有内角相等 .(一个凸六边形ABCDEF共有三组对边 :AB和DE ;BC和EF ;CD和FA)4.设ABCD是一个圆内接四边形 .从点D向直线BC、CA和AB作垂线 ,其垂足分别…     

2002年西部数学奥林匹克

第一天1.求所有的正整数n ,使得n4 - 4n3 +2 2n2 -36n +18是一个完全平方数 .2 .设O为锐角△ABC的外心 ,P为△AOB内部一点 ,P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F .求证 :以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内 .3.考虑复平面上的正方形 ,它的 4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4 +px3+qx2 +rx +s=0的 4个根 .求这种正方形面积的最小值 .4 .设n为正整数 ,集合A1,A2 ,… ,An + 1是集合{ 1,2 ,… ,n}的n +1个非空子集 .证明 :存在 { 1,2 ,… ,n +1}的两个不交的非空子集 {i1,i2 ,… ,ik}和{j1,j2 ,……     

上证指数与宏观经济指标协整关系的实证分析

本文研究了上证指数与宏观经济指标之间的协整关系，并在多因素协整分析的基础，利用误差修正模型建立了二者之间的预测模型。其结果表明1995年1月到2000年9月这段时间内，上证指数对长期利率、短期利率以及货币供应量的变化是敏感的，但同国民生产总值、固定资产投资、全国物价指数的变化之间没有长期均衡的关系，这对于我国证券市场的分析具有一些指导意义。     

高等数学中常用的不等式证明方法

本文介绍了高等数学中常用的不等式证明方法,并分析了这些方法的应用规律和技巧,以帮助刚进入大学的同学们快速掌握高等数学中的不等式证明方法。     

2006女子数学奥林匹克

第一天 1．设a＞0，函数f：（0，＋∞）→R满足f（a）=1．如果对任意正实数x、y，有f（x）f（y）＋f（a/x）f（a/y）=2f（xy）, 求证：f（x）为常数。