柯西不等式的应用举例

不等式问题覆盖面广、综合性强 ,是当今各层次数学竞赛 (包括IMO)的热点和难点之一 ,而不等式问题的处理更以“多入口 ,方法巧”见长 .为了寻求规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分有关不等式问题试题 ,深入研究 ,发现许多问题都能采用柯西不等式加以简单地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c∈R+ ,求证 :ab+c+ bc+a +ca+b ≥ 32 . ( 1)( 196 3年莫斯科竞赛题 )证明　令A =a(b +c) +b(c +a) +c(a +b) =2 (ab +bc +ca) ,B =ab+c+ bc+a+ ca+b.由柯西不等式 ,有AB≥ (a+b +c) 2 ,根据基本不等式 ,有A ≤ 23(a+b +c) 2 .所以 ,B≥ 32 …     

Schur不等式与一类竞赛试题

Schur不等式设x，y，z为非负实数，则x(x-y)(x-z) y(y-x)(y-z) z(z-x)(z-y)≥0，仅当x=y=z时等号成立。     

演绎深化——命制平面几何试题的一条重要途径

平面几何具有深刻的逻辑结构，丰富的直观背景和鲜明的认知层次，成为训练和培养学生逻辑思维与演绎推理的理想素材，因而在各层次的数学竞赛中，平面几何终占据重要位置，随着竞赛级别的升高，其分量也随之加重．例如，中国西部竞赛，全国女子竞赛6～8道试题中，就有2道平面几何试题；全国高中联赛加试3题中的第一道就是平面几何题；     

例谈数学竞赛中方程整数根问题的求解

方程整数根问题牵涉的知识面比较广(方程理论、整除性理论等)、题型多变(不定方程型、方程组型、解析几何型以及多项式整除型等),其处理更以"入口宽、方法巧"见长,因而成为各层次初中数学竞赛的重点考察内容,如今年进行的两次全国性考试(全国初中数学联赛和"信利杯"全国初中数学竞赛)中,就各有一道大题;再如湖南省高中理科实验班联合考试数学卷中就几乎每年都有一道大题(见下面的例子)……下面本文从六个方面来介绍数学竞赛中方程整数根问题的求解.     

Steiner定理及其逆定理与四道几何赛题的新证

Steiner定理[1]设D,E是△ABC的边BC上两点,且∠BAD=∠CAE.则有AB2=B-DD·BE.其逆命题也成立,即有 Steiner定理的逆定理设D,E是△ABC的边BC上的两点,若有AB2/AC2=BD·BE/CD·CE,则∠BAD=∠CAE.     

一道高中联赛平面几何题的新证法

题目 如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B．所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC，求证：∠DBQ=∠PAC．