数学奥林匹克高中训练题(60)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　　 (Ｂ) 3　　 (Ｃ) 4　　 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是(　　 ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 (　　 ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +…     

数学奥林匹克问题

初249如图1,AB是O的直径,C是AB的中点,M是AC的中点,CH⊥BM于H．求证：     

数学奥林匹克高中训练题(70)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .若集合A =lgx ,lgy ,lgx yx 的一个子集是B ={0 ,1 },则A的最大元素的最大可能值是 (　　 ) .(A) 1　 (B) 2lg 3　 (C)lg 1 1　 (D)lg 1 52 .ABCD是单位正方形 ,P是边AB的中点 .沿着PC和PD把ABCD折叠成四面体PACD(A与B重合 ) ,则四面体PACD的体积等于 (　　 ) .(A) 330 　 (B) 32 4 　 (C) 32 0 　 (D) 31 23.若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等 ,则该圆柱的体积的最小可能值是(　　 ) .(A) 48π (B) 50π (C) 54π (D) 6 6π4 .设f0 =0 ,f1=1 ,fn 2 =fn 1 fn(n =0 ,1…     

数学奥林匹克高中训练题(94)

第一试 　　一、选择题(每小题6分,共36分) 　　1.在正方体的8个顶点及正方体的中心共9个点中,共面的四点组的个数是( ). 　　(A)28 (B)32(C)36(D)40 　　……     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 2 3 .　已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4.　如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .…     

对一道竞赛题的多种解法的探讨

文[1]及文[2]全国高中数学联赛模拟试题(二)第二试(题一):在直角坐标系xOy中,设点P的坐标为(3,4),点Q和点R分别在x轴的正半轴上及y轴的正半轴上,使得PQ=QR=RP,试求PQ的长度.文[1]及文[2]分别讨论了它的解,本文进一步探讨并给出更为简洁的解法及命题的推广.解法一(三角法)如图,记PQ=QR=RP=a.作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F,记∠R PF=θ,则∠R PE=900?θ,∠Q PE=600?∠R PE=θ?300,所以cos3,cos(30)4.aaθθ?????=?°=②①P(3,4)Q R xy O F E由②得a?cosθ?cos300+a?sinθ?sin300=4,并由①,即33sin14?2+a?θ?2=.从而a?sinθ=8?…     

有奖解题擂台(40)

题 1.在平面坐标系xoy中,直线x=((2 3(3~(1/3))/4a分别与抛物线y=ax~2(a>o)及x轴相交于点A和     

有奖解题擂台(35)

某粮食部门欲建造一种粮仓,它的结构是由底面半径相同的正圆锥体和正圆柱体上下对接组合而成(即两个同半径的底面相重合),如右图所示.现设定粮仓的内部容积为常数V,其底面半径为R,正圆锥和正圆柱的高度分     

有奖解题擂台(39)

11设ABCD—AtBICDI是一个正方体,E是棱AD的中点.体对角线AIC与平面EBCI相交于I。_。。。。,。CP。。l。_。-i、___。i。。。。、【点尸。试求线段比多>及宜线AIC与平面EBCI的夹角(锐角)OI’”-‘“—””—”一’pA———～‘”‘—”———一‘-””””’””“””””IZ设。;>0。 ;=。; 且(n=1.2.3…·)。求证:若。;>2.则当n>且时。定有如下不等式！aD(0.. 1)“>a…0.。、及2·a。。;>a..十a.. , l(注:供题人对栗一位完整且正确的应征解答者投于奖盆40元.耳甲解决题1＃得10I元,解央题2看得30元.分别给奖。)有奖解题擂台(…     

数学奥林匹克高中训练题（113）

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.设{αn}n≥1是以2为首项、1为公差的等差数列,{bn}n≥1是以1为首项、2为公比的等比数列.记Mn=αb1 αb2 … αbn(b=1,2,…).