数学奥林匹克问题

本期问题 初245 如图1,在锐角ABC中,AC＞BC,CD为边AB上的中线,图1E、F、G分别为线段CA、CB、CD上异于线段端点的三点,且C、E、G、F四点共圆.设ADE外接圆的圆心为O1、半径为r1;BDF外接圆的圆心为O2、半径为r2,且∠O1DG与∠O2DG均为锐角.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初255设2009可拆分为四个正整数的平方和,其中,两个数的比为5/14,另两个数的比为1/2写出这个拆分．     

数学竞赛问题（10）

353.设 a ∈ R, y = fa (x) = x2 (a 2)x ? a . (1) 求证:所有的二次曲线 y = fa (x) 都经过一个定点; (2) 求证:所有的二次曲线 y = fa (x) 的顶点都落在一条固定的二次曲线上; (3) 设 y = fa (x) 与 x 轴相交或相切,求出其小根的取值范围. 注 本题于2004年7月提出,被作为2004年《中学生数理化》主办的“数学夏令营(高中)(郑州) ”竞赛试题. 354.试求出所有的整数对 (a,b) ,使得 (a ?b 1)(a b 2) 整除ab 1. 355.试求出所有的整数对 (x, y) ,使得 x整除 y2 ? 4y 1,并且 y 整除 x2 2x ?7 . …     

数学奥林匹克问题

本期问题 初107 设a、b、c∈R~ 。试证: (宿晓阳 四川省崇州市元通中学,611236) 初108 (?)是两位整数。求方程     

数学奥林匹克问题

本期问题图1初167如图1,过⊙O外一点P引⊙O的两条割线PAB、PCD,分别交⊙O于点A、B、C、D,弦AD、BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交⊙O于点E、F,过点D作DM∥PF交⊙O于点M.求证:MB平分EF.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初168如图2,在等腰Rt△ABC中,D1为直角边AC上任意一点,D1G⊥B     

一类迭代型函数方程问题的研究

20世纪以来函数方程常常出现在国际数学奥林匹克竞赛中,成为数学竞赛的一个重要领域,函数方程问题以其求解的技巧丰富和创意越来越受到各类数学竞赛命题者的青睐,并引起国内外数学教育界的广泛关注.近年来,函数方程的身影更不断出现在高考试卷中.本文试图就一类迭代型函数方程问题的求解及解法依据进行一些分析,并给出它的一个充分条件.例1求解函数方程:f(x)+f(x1x?)=1+x(其中x≠0,x≠1).(美32届普特南数学竞赛题)分析本题可以用解函数方程常用的换元法.令?(x)=xx?1,注意到?(?(x))=?x1?1,?(?(?(x)))=x.解令?(x)=x1x?,不妨记?(?(x))=?(2)(x)…     

数学奥林匹克问题

本期问题初173如图1,在正方形ABCD中,以图1点A为圆心、AB为半径画弧BD交AC于E,⊙O1与AB、AD相切且与BD内切,⊙O2与CB、CD相切且与BD外切,过点E作⊙O1的切线PE交CD于P.求证:∠APO1=∠CPO2.初174已知ABCD是一个正方形,点M(异于点B、C)在边BC上,线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F.(1)问:BE与DF谁更长?请说明理由.(2)若AB=1,求|BE-DF|的取值范围(点M取遍线段BC内部的每一个点).高173已知x、y、z∈R+,x+y+z=1.求证:x12-xy12-yz12-z≥2363.高174设S={1,2,…,n}.求最小自然数n,使当任意将S划分成两个子集时,总…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初197如图1，P是⊙0外一点，过P作⊙0的切线PA（A为切点）及割线PBC，过点B且平行于AP的直线交AC于点D，OP交BD于点M．记BD中点为N，求证：ON┻AM．[第一段]     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 2 5　如图 1 ,图 1△ABC的∠C =90°,延长AC到A′ ,延长BC到B′,使得AA′=BB′ =AB .证明 :从AB的中点O引直线OE ,必过△ABC的内心 .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 2 6　试求出所有的正整数对 (a ,b) ,使得ab -a2 +b + 1能整除ab + 1 .(吴伟朝　广州大学理学院数学系 ,51 0 4 0 5)高 1 2 5　若正方形A1A2 A3 A4的中心为O ,⊙O在正方形A1A2 A3 A4内部 ,P为⊙O上任一点 ,P到A1A2 、A2 A3 、A3 A4、A4A1的距离分别为d1、d2 、d3 、d4,则d3 1+d3 2 +d3 3 +d3 4为定值 .(徐　道　江苏省如皋…