有奖解题擂台(71)

题设R是全体实数的集合.试解决下列两个问题: (1)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(f(x) f(x*y))=f(x) x*f(y); (2)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(x2 y f(y) y*f(x))=2*y y*f(x) (f(x))2.     

对一道竞赛问题解法的再探索

文[1]曾就下题讨论和探讨了它的一系列解法.本文进一步从新的角度研究和给出它的三种新解法,尤其在解法二与解法三中分别运用因式分解和构造共轭式的方法求解,     

数学奥林匹克问题

本期问题 初217 如图1,⊙O的半径等于R,ABC 的顶点B、C都在⊙O上,点A在⊙O外,AC、AB分别交⊙O于点E、F,BE交CF于点P,在射线OP上取一点Q,使得OP*OQ＝R2.求证:A、B、C、Q四点共圆.     

数学竞赛问题(15)

570.设a,b都是实常数,函数f(x)=a sinx cos()+b x+π4的最大值等于1.(1)求a2+b2的最大值;(2)求a3+b3的取值范围.注:本题于2006年4月16日提出并解答,其中(1)被作为第八届(2006年)广州市创新精神与实践能力综合测评活动的数学试题(初赛),也作为南方杯试题.571.试判断下列命题是否成立,并说明理由:若n是正整数,则(1+2+3++n)?(1+111)2+3++n≥n2+n2?1.注本题于2006年5月20日提出并解答,被作为第八届(2006年)广州市创新精神与实践能力综合测评活动的数学试题(初赛).572.在△ABC中,点D,E分别在两边BC,CA上,AD与BE相交于点F,直线CF交AB边于…     

数学竞赛问题（5）

89. 设11a=,123(6)nnnaan = (1,n= 2,3,)L. ⑴ 求通项公式na; ⑵ 求出所有的n,使得na能被110整除; ⑶ 问:此数列中是否有无限多个项na,能被2002整除？如果有,请找出无限多个n,使之满足要求,即2002整除na. 90. 设n和m为正整数,求和: 212()niiSmi==-. (答案写成关于n和m的最简     

第四十三届美国高中数学考试试题

1。6‘+6性月一66+66+66+66= (A)66。(B)6了。(C)366. (D)6 3 6.(E)363‘。 2.如果3(4x+5,)=p,那么 6(sx+10军)二 (A)ZP.(B)4P。(C)6P. (D)sp。(E)18p. 3.某容器中装满了金属硬币和珠子,或者是金的或者是银的.其中百分之二十是珠子,百分之四十的硬币是银的,那么容器中金币的百分比是多少? (A)40%。(B)48%.(C)52%. (D)60%.(E)80%. 4。如果。:>o,而点(,:,3)和(1,二)在斜率是m的直线上,那么二= (A)1。(B)了丁。(C)侧丁. (D)2。(E)了了。 5。如果a,b和c是正整数,a和西是奇数,那么3a+(b一1)‘.: (A)对于。的所有选择都是奇数。 (B)对…     

数学奥林匹克问题

本期问题初149　已知二次函数f(x)=x2-2mx 1.是否存在实数x,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b、c,f(a)、f(b)、f(c)能构成一个三角形的三条边的边长?(王连笑　天津市实验中学,300074)初150　试求出所有的整数n,使得70n 200n2 1是整数.(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院,51     

有奖解题擂台(94)

(1)设n是一个给定的正整数,且n≥4,集合Z_n={0,1,2,3,4,…,n-1}.试求出最大的正整数k,使得下述命题成立:把Z_n中的每一个元素任意地染上k种两两不同的颜色中的某一种颜色(允许某些颜色未被使用),但必须满足染色法则:若任意的a、b∈Z_n,且a>b,a与b     

有奖解题擂台（91）

题 设R是由全体实数组成的集合,试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有 f(x2+y+f(y)+y·f(x))=2·y+f(x·y+(f(x))2.