数学奥林匹克问题

本期问题　　初 119.在△ＡＢＣ中 ,Ｍ、Ｎ两点都在ＡＢ上 (不含两端点 ) ,满足∠ＭＣＮ =30°.已知Ｓ△ＡＢＣ =2 0 0 ,Ｓ△ＣＭＮ=ｆ .当ｆ是一个整数时 ,求ｆ的所有可能的值 .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4614 2 )初 12 0 .在平面直角坐标系ｘｏｙ中 ,⊙Ａ的方程为 (ｘ -2 ) 2 +(ｙ -2 ) 2 =1,两个半径都是ｒ且互相外切的⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 均与⊙Ａ相外切 ,又⊙Ｏ1、⊙Ｏ2 分别与ｘ轴、ｙ轴相切 .求ｒ .(吴伟朝　广州大学理学院数学系 ,5 10 40 5 )高 119.证明 :在正整数数列中 ,删除所有完全平方数后剩下的数列的第ｎ项上的数是ｎ +{…     

数学竞赛专栏——有奖解题擂台 (4 9)

题　设Ｒ是由全体实数组成的集合 ,函数 ｆ :Ｒ→Ｒ对于任意的ｘ、ｙ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ ｆ( ｙ) ｘ·ｆ( ｙ) ) =ｙ ｆ(ｘ) ｙ·ｆ(ｘ) ①求证 :或 ｆ(ｘ) =ｘ　 ( ｘ∈Ｒ) ,或ｆ(ｘ) =-1 ,-ｘ/ ( 1 ｘ) ,　 当ｘ =-1时 ;当ｘ≠ -1时。　　 (注　供题人对第一位完整且正确的应征解答者授予奖金 4 0元 )。数学竞赛专栏——有奖解题擂台 (4 9)$广州教育学院数学系@吴伟朝! (邮编 :5 1 0 4 0 5 )     

数学奥林匹克初中训练题(27)

第一试 一、选择题(满分42分,每小题7分) 1.设n、b、k皆为整数,且(k-(b/2))~2≤n,方程x~2 bx-k~2 kb n=0有实根,考虑下列四个结论: ①方程必有两个不相等的实根; ②方程恰好有一个整数根; ③b能被2整除; ④n是一个完全平方数或零. 则其中正确的结论是( ).     

数学奥林匹克问题

初98 如图1,在△ABC中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点,作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC、     

数学奥林匹克问题

本期问题初203设△ABC为任意三角形,AE、AF是∠A的两条三等分线(E、F在BC上).求证:EF·BC<3BE·CF.(李先品江苏省新沂市教师进修学校,221400)初204如图1,O是单位正方形ABCD图1的中心,点P在边BC上(P不与顶点B、C重合),直线DP交边AB的延长线于点Q,DP交对角线AC于点E,直线QO交边AD于点F.(1)比较AF+BP与AB的大小,请说明理由;(2)比较AF+BP与23AB的大小,请说明理由;(3)若EF∥AB,求CP的长度;(4)若EF∥OP,求CP的长度.(吴伟朝广州大学数学与信息科学学院,510006)高203试证明:存在无穷多个由1,2,3,4这四个数码构成的完全…     

数学奥林匹克问题

初213 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：EG〈EF．     

数学奥林匹克问题

本期问题初179如图1,在正方形ABCD中,以图1边AB的中点O1为圆心、A2B长为半径画半圆⊙O1,半圆⊙O2的圆心O2在边BC上,并与边CD相切,与半圆⊙O1外切于点P.求证:DP是⊙O1和⊙O2的公切线.初180证明:对每一个正整数n,n5-n能被30整除.注:译自国外竞赛题.高179设n为正整数,Sn=sin1-sin4+…+(-1)n-1sin(3n-2).求证:Sn≠0.高180在△ABC中,求证:tan2B·tan2C+1cosA+tan2C·tan2A+1cosB+tan2A·tan2B+1cosC=2.上期问题解答初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB…     

有奖解题擂台(59)

1　求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。　 (不要使用计算器等工具。)2　试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。　(不要使用一元四次方程求根公式。)3　试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有　　ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈…     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 31　已知无穷数列 {an}的各项都是正整数 ,且其中任何连续若干项之和都不等于 1 0 0 .试求max{an,n∈N}的最小值 .(张延卫　江苏省宿迁市教育局 ,2 2 380 0 )初 1 32　试求出所有这样的实数k,使得关于x的方程 12 +k2 x2 + ( 2 +k)x -54( 2 + 1 )k =0的两个根都是有理数 .高 1 31　已知函数f(n)是定义在N+ 上的严格增函数 ,其值域也在N+ 之中 ,且满足f(f(n) ) =3n .求f( 2 0 0 3) .高 1 32　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .( 1 )若确保图形中出现以给定点…     

有奖解题擂台(34)

有一个上底面边长为a,高为h的正四棱锥形状的薄壁开口容器,将它以水平地开口朝上地放置,里面盛满水.现有一个半径为R的钢球慢慢地放入容器中直至钢球与容器口或容器内侧面相触(允许钢球露出水面),如右图所示.试求R的值,使得钢球的排水量(即容器中溢出的水量)为最大.