一道“匹配完全平方数”的竞赛题的推广

如下的一道利用和式来“匹配完全平方数”的竞赛题是不少人所熟悉和感兴趣的：     

漫谈1997年中国数学奥林匹克第3题

1997年中国数学奥林匹克的第3题可以陈述为: “证明,存在无穷多个自然数n,使得可将1,2,…,3n列成数表     

第34届IMO土耳其国家队最后选拔考试试题与解答

第一部分 1、证明,存在以正整数为项的等差数列,它有无穷多项,每一项的不同的正约数的个数都是5的倍数,且第一项是16。并在所有这种等差数列中,找出公差最小的来。 2、设锐角三角形ABC的外心是M,过点A、B、M的圆交直线BC于点P,交直线AC于点Q。证明,直线CM垂直于直线PQ。 3、设{b_n}为正整数序列,对一切n≥     

第六届欧拉数学竞赛（决赛）

1．证明：在任何10个相连的三位数的乘积的素约数分解式中，均至多出现23个互不相同的素数．     

一个值得发掘的例题

高中数学第三册第2.2节“不等式的证明”中介绍了配方法、分析法、以及n=2、3时的平均不等式,内容丰富而且重要,它们是该节的重点。该节也涉及到分式不等式的证明,这就是该节的例3和复习题2中的一些习题。分式不等式是高中数学的一个重要内容,它经常出现在其它章节习题中及各类考试试题中。由于分式不等式的特殊形式,学生往往习惯地进行通分、硬行拆并,以至容易出错。因此,若能抓住讲解例3的机会,讲述一些处理分式不等式的方法,并讲述一些分式或分数的性质,不仅有好处,而且有必要。第2.2节的例3是: “已知a、b、m都是正数,并且a〈b,     

1992年独联体数学冬令营

本次数学冬令营于1992年元月在莫斯科市举行,历时10天。此次冬令营是按照“全苏数学冬令营”模式筹办的,但由于前苏联已于1991年底宣告解体,所以改称“独联体数学冬令营”。冬令营期间,营员们听取了讲座,并参加了为时四天的选拔考试。通过选拔,产生了参加第33届IMO的独联体代表队和俄罗斯代表队。选拔试题共16道,每天考4题,每次5小时。以下即是16道选拔试题。     

利用特殊性帮助解题

众所周知,在数学问题的解答中,应当注意一般性和特殊性的关系.在论证一般性命题时。一定不能以验证某些特例来代替对问题的论证.例1 证明:有3个数位上是1,其余数化上都是O的十进制正整数都不是完全平方数.我们知道,这样的正整数是很多的,例如111,101010,1100001.10000011,…等等.如果逐一验证它们,可以发现它们都确     

1994年加拿大数学奥林匹克试题

2．证明，-1的任何正整次方幂都具有的形式，其中m为正整数．3．25个人围坐在一张圆桌旁．每一小时进行一次表决，每个人每次都必须回答：“赞成”或“反对”．现知每个人都按“中庸之道”行事；即如果在第n次表决中，他的回答至少与他的两侧邻座之一的回答相同，那么他在第n 1次表决中就仍然采用第n次中的回答；而如果在第n次表决中，他的回答与两侧邻座都不相同。那么他在第n＋1次表决中就采用与第n次不同的回答．证明，不论这些人在第一次表决时如何回答，都存在一个时刻，在此之后，任何人的回答都不再发生变化。4．设AB是圆的一条直径…     

第54届莫斯科数学奥林匹克

1991年2月17日,在莫斯科大学举办了第54届莫斯科市数学奥林匹克.同以往各届一样,这次竞赛也是分年级进行的,每个年级均为5道题,解题时间为4小时.参加这次克赛的共有1500多名由区级竞赛中所选拔出的选手.译者以中国观察员的身份观摩了这次竞赛.     

第20届俄罗斯数学奥林匹克(决赛)

第20届(1994年)俄罗斯数学奥林匹克共进行了5轮比赛,第5轮为决赛,于4月19日至25日在特韦里举行,考试分两天进行,每天5小时,各4道题。下述各年级的前4题为第一天的试题,后4题为第二天的试题。