代数变换体系f(ra,rb,rc)=f(x,y,z) 导出∑bc/h2a≥4的不等式链

文[1]介绍了涉及三角形高线的不等式: r(5R-r)/R2≤h2a/bc+h2b/ca+h2c/ab≤(R+r)2/R2① 文[2]在①的基础上,建立的如下不等式: bc/h2a+ca/h2b+ab/h2c≥4 ② 文[3]建立了比②更强的如下不等式: bc/t2a+ca/t2b+ab/t2c≥4 ③     

一个三元不等式链的进一步探究

刘永春老师提出了一个有趣的三元不等式链[1 ] :9 ａ ａ2 ≤ ａ≤ ｂ2 +ｂｃ+ｃ23≤ ｂ2 +ｃ22 ≤3 ａ2 ≤ ｂｃａ ≤ 2ａ2ｂ+ｃ≤ ｂ2 +ｃ22ａ ≤ ａ3ｂｃ.(其中ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ , 、 分别表示循环和、循环积 ;下同 )随后 ,陈永毅、张云华两位老师均对此作了有益的探索[2 ] [3] .在此基础上 ,本文将作进一步探究 ,推证出下列不等式链 ,并探寻其解题功能 .定理　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ3ｂｃ ≥ ｂ2 +ｃ22ａ ≥ (ｂ +ｃ) 24ａ ≥ ｂｃａ ≥3 ａ2 ≥ ｂ2 +ｃ22 ≥ ｂ2 +ｂｃ +ｃ23≥ ａ≥ 3 ｂｃ≥ ｂｃ≥ 33 ａ≥ 9 ａ ａ≥…     

一个代数不等式在三角上的应用

《中学数学月刊》在文[1]～[9]对一类三角问题作了十分有益的探讨．其解证方法生动活泼，绚丽多彩，引人人胜，富于启发．本文利用一个代数不等式来解决这类问题．[第一段]     

构造“数字式”求f（x）=p/√sin x＋q/√cos x的最小值

题目设p,q∈R＋,x∈（0,π/2）.求函数f（x）=p/√sin x＋q/√cos x的最小值. 文[1]两次应用柯西不等式解之,并引入四个参数m、n、a、b;文[2]巧用赫尔德不等式,简捷而精彩．本文介绍一种更为简洁、初等的解法：构造“数字式”：4＋I=5,予以解决．     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

一类三次非齐次条件不等式的证明

一类三元三次非齐次条件不等式的证明题,屡见于数学竞赛试题或数学征解问题中,颇具难度,传统证明方法较为繁琐,目前尚未见证明通法的报道．有鉴于此,笔者作了一些探索,总结出一种证明方法,并就教于专家、读者．定理1设x,y,z∈R＋,且x＋y＋z＝1,则以上三个定理可用平均不等式证明,此处略去．我们指出：（1）Z,y,Z也可以是非零实数;（2）定理1,2,3还可以综合为l巧用定理三～3证明三次非齐次不等式创1设凸ABC的三边为a,b,c,且a＋应当指出,对于题没条件为Z＋y＋Z一天＞0,可作变换Z一kZ‘,y一切’,Z一bZ’,从而得…     

构造平方式巧证不等式

文［１］在本刊发表，引起广泛注意，有些感兴趣的读者询问；如何晓得这些不等式？其实，能用于求函数最值或证明不等式的重要不等式远不止文［１］所列举那些；而且，这些不等式几乎可由最简单最不惹人注意的非负数概念（ｘ－ｙ）＾２≥０推证而得．     

"代入-配方法"巧解二元二次函数最值赛题

本文研究一类二元二次函数的条件最值问题(即条件式、函数式均为二元二次式).该类问题通常须借助于三角知识或数形结合方法求解.     

由∑bc—4／9пa≤1／4引起的“链式反应”

针对一类条件为：a b c=1(a,b,c为非负实数）的三元非齐次不等式的证明问题，笔提出如下定理：∑a^2 2∑bc=1Ⅰпa≤1/27Ⅱ∑bc-4/9пa≤1/4Ⅲ本列举10道三元非齐次条件不等式，均可由该定理直接或间接得到证明，其证明途径可列成如下网络：定理→（1)→（5) 0190(10)→（2)→(7)→（6)→（3)→（8)→(4）→（9)。