向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

垂心为其顶点的圆内接闭折线的一个性质——兼擂题（65）解答

擂题 (65 ) (熊曾润提供 )　设闭折线A1A2 A3…AnA1内接于圆 ,若它的垂心是它的某个顶点 ,则称闭折线A1A2 A3…AnA1为直顶闭折线。试证明 :若R为直顶闭折线A1A2 A3…AnA1的外接圆半径 ,则∑1≤i垂心H的坐标为 (xH,yH) ,则x2 i y2 i=R2 ,　OH2 =R2 ,并且xH=∑ni=1xi,　yH=∑ni=1yi[1] ,由两点间的距离公式得OH2 =x2 H y2 H=(∑ni=1xi) 2 (∑ni=1yi) 2 ①∑1≤…     

六谈圆内接闭折线垂心的性质

关于圆内接闭折线垂心的性质,我们已作过多次探讨(见拙文[1]～[2]),这里再作点补充.为此,先建立如下概念: 定义1 在△OMN所在的平面内,以顶点O为原点建立直角坐标系xOy,设顶点M和N的坐标分别为(,)MMxy和(,)NNxy,那么式子 1()2MNNMxyxy- 的值称为△OMN的有向面积,记作OMND, 即 1()2MNNMOMNxyxyD=-. 定义2 △OMN的有向面积的绝对值称为△OMN的面积,记作'OMND,即 D'||OMNOMN=D. 容易验证(这里从略):按上述定义确定的三角形面积,与平面几何里所说的面积是完全一致的. △OMN的方向规定为 OMNO,当这个方向为逆时针…     

数学奥林匹克问题

本期问题 高391 如图1,已知H为△ABC的垂心,⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点D1和D2、E1和E2、F1和F2,且D、E、F分别是D1D2、E1E2、F1F2的中点,     

三角形垂心的性质及其应用

1　基础知识三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心 .三角形垂心有下列有趣的性质 :设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ ,其中Ｄ、Ｅ、Ｆ为垂足 ,垂心为Ｈ .性质 1　垂心Ｈ关于三边的对称点 ,均在△ＡＢＣ的外接圆上 .性质 2　△ＡＢＣ中 ,有六组四点共圆 ,有三组 (每组四个 )相似的直角三角形 ,且ＡＨ·ＨＤ =ＢＨ·ＨＥ =ＣＨ·ＨＦ .性质 3　Ｈ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 (并称这样的四点为一垂心组 ) .性质 4　△ＡＢＣ ,△ＡＢＨ ,△ＢＣＨ ,△ＡＣＨ的外接圆是等圆 .性质 5　在非直角三角形中 ,过…     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

一个优美共圆点定理的多方位推广

本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般的圆内接多边形中,给出一个新的、更具一般性的共圆点定理.     

探究构成三角形的特殊点及解题

一、三角形的四心及性质1.内心——内心是三角形三内角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心.内心到三角形各边的距离相等;内心到三角形各边的距离等于三角形内切圆的半径;内心一定在三角形的内部.     

垂心闭折线及其性质

本文约定:符号A(n)表示内接于⊙(O,R)的任意一条闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1。定义对闭折线A(n),设其顶点全集的最大真子集{A_1,A_2,…,A_(i-1),A_(i 1),…,A_n}的垂心为H_i(i=1,2,…,n),则闭折线H_1H_2H)3…H_nH_1称为A(n)的垂心闭折线,记作H(n)。垂心闭折线具有下列性质:     

三角形的欧拉线与边的位置关系

本文探讨了三角形欧拉线与三边的位置关系,揭示了欧拉线平行于三角形一边的条件．