三角形的一个恒等式与邹明不等式

1998年邹明先生在 [1]中建立了如下不等式 :设△ＡＢＣ的三边长为ａ ,ｂ ,ｃ ,相应各边上的高与三个旁切圆半径分别为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ 与ｒａ,ｒｂ,ｒｃ,其外接圆与内切圆半径为Ｒ与ｒ ,则3≤ ｒｂｒｃｈ2 ａ ｒｃｒａｈ2 ｂ ｒａｒｂｈ2 ｃ≤ 3Ｒ2ｒ. (1)本文首先给出三角形的一个恒等式 :ａ2(ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) ｂ2(ｓ -ｃ) (ｓ-ａ) ｃ2(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) =4 (1 Ｒｒ) ,(2 )(其中ｓ为△ＡＢＣ的半周长 ) ,然后给出恒等式 :　　 ｒｂｒｃｈ2 ａ ｒｃｒａｈ2 ｂ ｒａｒｂｈ2 ｃ=1 Ｒｒ . (3)而由 (3)式和欧拉不等式极易得出邹明不等式 (…     

由一道高考试题引发的思考——三角形与三面角中几个性质的类比

2003年全国高考数学新、旧课程卷(文科)第15题：在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB^2 AC^2=BC^2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积间的关系，可以得出的正确结论是；“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S^2△ABC S^2△ACD S^△ADB=S^2△BCD．”     

相似三角形问题错解分类辨析

相似三角形是在全等三角形的基础上的拓广和发展.因此,学生在学习相似三角形时,会遇到很多困难,在解题中经常会出现一些问题,下面就学生在解相似三角形问题时,出现的错误分类辨析如下,供大家参考.一、盲目套用旧知识例1如图1,在△ABC和△A'B'C'中,AD⊥BC,A'D'⊥B'C',D,D'为垂足.且AB/A'B'=     

对一个优美的半对称不等式的补充

文 [1 ]给出了一个优美的半对称不等式 :命题　在非钝角△ABC中 ,设BC =a ,AC =b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa为∠A的平分线长 ,则有mawa≤b2 +c22bc .①受文 [1 ]的启发 ,笔者发现以下一个优美的半对称不等式 :命题　在任意△ABC中 ,设BC =a ,AC=b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa 为∠A的平分线长 ,则mawa≥(b +c) 24bc .②证明 :设p为△ABC的半周长 ,则式②等价于(b +c) 4 w2a ≤1 6b2 c2 m2a.③由角平分线公式wa =2bcp(p -a)b +c 和中线长公式ma=12 2 (b2 +c2 ) -a2 可知③ (b +c) 2 [(b +c) 2 -a2 ]　　　　≤4bc[2 (b…     

借助向量浅探三角形内心的性质

自从2003年高考（江苏卷）第5题考过之后，引起中学数学教师在向量教学时，广泛挖掘向量在三角形四心性质上的运用，其中比较典型的如：     

用“拼剪”探索公式

在三角形面积公式的教学中，如按教材所述的方法(数方格，不满一格的都按半格计算)寻求面积公式，学生难以弄明白为什么把不满一格的大大小小的三角形或四边形都要算作半格，而且这样数得的结果也不准确，有知识性错误。因此，可以用下面的方法处理．     

《三角形中位线》教学设计

在本节学习中，学生容易出现的问题一是混淆中线和中位线，二是难以灵活应用中位线性质定理解决实际问题，特别是遇到有多个中点却没有现成的三角形及其中位线时，如何添加适当的辅助线往往成为解决问题的“瓶颈”。另一方面，通过信息技术课的学习，该学段学生初步掌握了计算机的常规操作，能较好的配合教师实施计算机网络教学。实施这样的教学能有效激发学生高昂的学习兴趣和主动性。     

例谈高考中二面角问题的情景设计及解法

二面角是立体几何中每年必考的重要内容之一，求解方法主要是作出二面角的平面角．通过解三角形而求角．然而，由于高考试题中二面角问题情景设计的多样性，使得求解二面角成为难点．现结合历年高考题概括为以下三类：给出平面角型，标准型，无棱型，并探讨其解法．     

一道征解题的简证与推广

文 [1 ]给出了如下一道征解题 :设 a,b,c均为正实数 ,证明 :ab(a b) bc(b c) ca(c a)≤ 32 (a b) (b c) (c a) . (1 )它的证明方法主要是借助于几何背景 ,其证明过程也不够简单 .本文给出一种代数证明 ,其过程简捷 ,并且利用这种证法可以将(1 )推广 .证　在 (1 )的不等式两端同除以(a b) (b c) (c a)便可得 :ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa b≤ 32 . (2 )因此 ,我们只需证明 (2 )成立即可 ,而对于 (2 ) ,我们又可以利用基本不等式 :算术平均≥几何平均 ,故有ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa …     

关于三角形中线与边长的一个不等式猜想的证明

以正确分类讨论的方法，研究并证明了三角形中线长与其边长的一个十分精彩的不等式猜想问题，从中领悟研究数学猜想证明的魅力所在。