利用几何法证明不等式

不等式的证明是学生学习过程中的难点，也是高考和竞赛的热点。若能根据不等式的结构特点，挖掘出问题蕴含的几何意义，构建恰当的图形或模型，便可以找到较为简便的解法。现举例说明。     

高观点下的中学数学解题例说

教学实践中,曾遇到过如下题目: 设a、b、cR ,且44454690abc =, 试求333522abc 的最大值. 凭过去积累的解题经验,第一时间认为可以用均值不等式求解这一问题,但多次构设均值不等式都无功而返,偶尔想到柯西不等式常用于求多元函数的最值,一试,解题方案便跃然纸上: 由柯西不等式得 3332(523)abc 2222(55263/2)aabbcc= ?444222(546)(53/2)abcabc , ① 2222(53/2)abc 2222(552/266/4)abc= ?444(546)(51/46/16)abc . ② 注意到题设,综合①、②便有 33352345abc ? 等号当且仅当 2225:52:6:3/2aabbcc==, 且 2225:52:1/26:6/4abcc…     

两个三角不等式猜想的证明注记

三角不等式中有如下常见不等式链：当0〈x〈2/π时，有sinx〈x〈tanx．     

先求每束还剩几朵

同学们都知道,运用二元均值不等式a+b/2≥(ab)~1/2(或a+b≥2(ab)~1/2)可以求出以下两种情况下的最值:①若a·b为定值P,则当a=b时,a+b有最小值2(P)~1/2;②若a+b为定值S,则当a=b时,a·b有最大值1/4S2.初学这部分内容时,不少同学常常出现这样或那样的错误.牢记下面的三条纪律,有助于提高解题的正确率.     

关于一个加强的Hardy-Littlewood-Polya不等式

应用改进的Euler-Maclaurin求和公式,得到权系数不等式,从而建立了一个加强的Hardy-Littlewood-Polya不等式.     

一个推广的Hardy-Hilbert型不等式

通过引入参数λ,应用改进的Muler-Maclaurin求和公式,给一个Hardy-Hilbert型不等式以具有最佳常数因子的推广,作为应用,给出了它的等价形式。     

关于平均值不等式的若干证明

本文总结了平均值不等式的三种证法,一是数学归纳法,第二是函数法,最后是特殊不等式法。总之,平均值不等式的证明方法很多。