第43届IMO预选题解答(上)

数论部分1.求最小正整数n ,使得x31+x32 +… +x3n=2 0 0 2 2 0 0 2有整数解 . (乌兹别克斯坦提供 )解 :因为 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) ,4 3 ≡1(mod 9) ,2 0 0 2=6 6 7× 3+1,所以 ,2 0 0 2 2 0 0 2 ≡4 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) .又x3 ≡0 ,± 1(mod 9) ,其中x是整数 ,于是 ,x31,x31+x32 ,x31+x32 +x33 4 (mod 9) .由于 2 0 0 2 =10 3 +10 3 +13 +13 ,则2 0 0 2 2 0 0 2 =2 0 0 2× (2 0 0 2 667) 3=(10× 2 0 0 2 667) 3 +(10× 2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 .所以 ,n =4 .2 .本届IMO第 4题 . (罗马尼亚提供 )3.设p1,p2 …     

多项式的最大公因式和最小公倍式的矩阵求法

本文给出了求一元多项式的最大公因式和最小公倍式的一种方法－－矩阵求法。     

改进的灰色模型在基础沉降预测中的应用

一般的灰色残差修正GM(1,1)模型只是单纯利用差分来代替微分,而且用原始沉降数据第一点的值作为时间响应函数的初始值,导致了一定的误差。提出一种多项式逼近法改进后的残差修正GM(1,1)模型,该模型利用多项式在离散观测点上的导数代替常用的差分,同时添加一个初值参数C_0做出调整。实验验证,改进模型具有较好的准确性和工程应用价值。     

矩阵的次对角化与特征多项式

给出了矩阵次对角化的概念，并且给出了可逆矩阵可以次对角化的充分必要条件和次对角化的方法。     

与多项式导数有关的试题类型及解题方法

新教材增加了多项式的导数，随着近几年教学改革的不断深入，以及广大中学师生对多项式导数问题的深入了解，多项式导数问题的试题类型不断增多，其难度也在不断增加，已成为各级各类模考乃至高考的一个新的亮点．下面就与多项式导数有关的试题做一简单分类，并就其一般解法作出说明，供同学们参考．     

欢迎订阅《中学数学杂志》（初中、高中）

文[1]指出，（18，…，34｜35，…，42）广义勾股数组（以下按汉语拼音记为GGS），并问这类GGS有无一般形式？文[2]称这类GGS为[2n＋1[n]型，并认为（18，…，34（35，…，42）是[2n＋1｜n]型GGS中唯一的．事实上，（60，…，110｜111，…，135）也是[2n＋1｜n]型GGS，可见并不唯一．出错之因是由于误认为一个多项式，只有它是完全平方式时，其值才可能是平方数．比如x＋1，并非完全平方式，但当x=8时，x＋1=9是个平方数．     

用多项式回归方法确定最佳施氮量

利用多项式回归方法给出了施氮量与玉米产量间的关系，并对最高单产量及其施氮量予以确定．     

素数在域Q(ln√u)上素理想分解

设F=Q(ln√u),其中l是奇素数.本文给出了奇素数p在整数环OF中的素理想分解形式.     

一类K4—同胚图色唯一性的新进展

证明了：若ｉ,ｊ,ｋ,Ｌ,ｍ,ｎ中有三个数相等,而另外三个数大于此数且互不相等,则Ｋ４（ｉ,ｊ,ｋ,Ｌ,ｍ,ｎ）是色唯一的。     

特征多项式降阶定理的应用

本交给出了矩阵的特征多项式及特征根的一种求法.