一道不等式习题的研究性学习

研究性学习是学生在比较广泛的教育资源自尊背景下所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动，波利亚认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与探究能力．”因此，教学中教师应引导学生多角度、全方位、深层次的思维，从而大大激发学生的创造性思维，不断激起智慧的火花。本文以一道不等式的习题为例，进行研究性学习。     

利用几何法证明不等式

不等式的证明是学生学习过程中的难点，也是高考和竞赛的热点。若能根据不等式的结构特点，挖掘出问题蕴含的几何意义，构建恰当的图形或模型，便可以找到较为简便的解法。现举例说明。     

高观点下的中学数学解题例说

教学实践中,曾遇到过如下题目: 设a、b、cR ,且44454690abc =, 试求333522abc 的最大值. 凭过去积累的解题经验,第一时间认为可以用均值不等式求解这一问题,但多次构设均值不等式都无功而返,偶尔想到柯西不等式常用于求多元函数的最值,一试,解题方案便跃然纸上: 由柯西不等式得 3332(523)abc 2222(55263/2)aabbcc= ?444222(546)(53/2)abcabc , ① 2222(53/2)abc 2222(552/266/4)abc= ?444(546)(51/46/16)abc . ② 注意到题设,综合①、②便有 33352345abc ? 等号当且仅当 2225:52:6:3/2aabbcc==, 且 2225:52:1/26:6/4abcc…     

两个三角不等式猜想的证明注记

三角不等式中有如下常见不等式链：当0〈x〈2/π时，有sinx〈x〈tanx．     

先求每束还剩几朵

同学们都知道,运用二元均值不等式a+b/2≥(ab)~1/2(或a+b≥2(ab)~1/2)可以求出以下两种情况下的最值:①若a·b为定值P,则当a=b时,a+b有最小值2(P)~1/2;②若a+b为定值S,则当a=b时,a·b有最大值1/4S2.初学这部分内容时,不少同学常常出现这样或那样的错误.牢记下面的三条纪律,有助于提高解题的正确率.     

一个推广的Hardy-Hilbert型不等式

通过引入参数λ,应用改进的Muler-Maclaurin求和公式,给一个Hardy-Hilbert型不等式以具有最佳常数因子的推广,作为应用,给出了它的等价形式。     

关于平均值不等式的若干证明

本文总结了平均值不等式的三种证法,一是数学归纳法,第二是函数法,最后是特殊不等式法。总之,平均值不等式的证明方法很多。