构造法证组合恒等式

组合恒等式的证明是教学中的一个难点。有关书刊上一般都介绍了利用组合数公式、组合数性质、数学归纳法、二项式定理等很多证法。本文将探讨一种新的证明方法,即构造法证明组合恒等式。一、构造法证明思想的缘起让我们先看两个简单的组合问题例1、从n个不同元素中取出m个元素并成一组,有多少不同的方法? 解法一、设取法有N种。由组合数定义,得N=c_n~m 解法二、先从n个不同元素中选定n-m个,然后再将其余的m个元素取出,则N=c_n~(n-m) 解法三、设这n个不同元素为α_1、α_2、…α_m。从中取出m个元素有如下两类办法:即取出的m个元素中含有α_1或不含α_2两类。若含有α_1,则应从其余的n-1个元素中再取出m-1个元素,有c_(n-1)~(m-1)种方法;若不含α_1,则应从其余的n-1个元素中取出m个元素,有c_(n-1)~m种方法。由加法原理,得N=c_(n-1)~(m-1)+c_(n-1)~m。     

免费摸奖及其数学原理

在市场经济中,一些商家迭出新招、其促销手段五花八门、无奇不有. 近日,在一些商品贸易市场中,“免费摸奖”大行其道.虽形式多样,但方法雷同.现择其一种介绍于下. 布袋内放20个乒乓球,其中10分球10个,5分球10个,顾客免费摸奖,从袋内摸出10个     

递归数列与复合函数

已知,(x)=2x-3,容易求得f[f(x)]=4x-9,进而可以求得f{f[f(x)]}=8x-21。如果要求(?)的解析式,问题仍可解决,但若通过逐次复合去求解,运算过程便将变得十分复杂。如果进一步要求(?)的解析式,则上述方法便完全失效。这就迫使我们去另辟蹊径,寻求新的解决问题的方法。上述问题可以如下形式一般地提出:“记f_n(x)=(?)(下文同),若已知f(x)的解析式,求f_n(x)的解析式”。本文试用递归数列为工具,给出解决该类问题的思想方法,并导出若干公式。     

圆锥曲线定义在代数中的应用

一、椭圆定义的应用.可‘用于解无理方程、不等式,绝对值方程、不等式.举例如下。 例1.解方程\/;一+2::一5 十\/刃乙+2者+37“1 0. 解:方程化为甲流十1)“月一甲十创石了万丁千3百二10、在平面上建立直角坐标系,则上式表示p(,七。)到点F〔一1,2)、F:(一1,6)的距离之和为10.因此P在椭圆(。~5;。一2,中心为(一1,4))-立卫…才一, 21(夕一4)“_ 25上.命夕二o,得二一1二士3、/21/5. 例2.解不等式!一21十I/+11少5. 解:设尸(:·,o,为、轴上一点,则满足原不等式的点必在椭圈 (‘一奋一)2 25/4‘4外部.命夕=o,解得之二一2,::~3,故原不等式的解为(一…