数学竞赛中多变量最值问题的常用解法

在近年来的各省（市）及全国初中数学竞赛试题中,一类与多变量相关的求代数式（或字母）最大（小）值的问题屡见不鲜,新颖独特,趣味盎然．这类问题内涵丰富,知识面广,综合性强,形式不拘一格,解法灵活多变,是考查学生驾驭知识、运用数学思想方法等能力的极好素材．下面将举例分析处理数学竞赛中有关多变量最值问题的一些常用方法,供参考．     

数学竞赛中最值问题的常用解法

<正>求解最大(小)值的问题是数学竞赛中的常见题型.此类问题有着极为丰富的内涵,它涉及的知识面广,综合性强,解法颇具技巧性.本文举例介绍初中数学竞赛中有关最值问题的一些常用方法,供参考.     

巧用变换x=a b,y=a-b解题

众所周知,对于任意实数x,y,总有x=x y/2 x-y/2,y=x y/2-x-y/2,若令x y/2=a,x-y/2=b,便得到 x=a b,y=a-b. 这个简单的变换有着不同凡响的功效,解题中若能巧妙、合理地运用它,常能独辟蹊径、化难为易、避繁就简,使解题过程显得简洁、活泼、新颖、别致,现例说如下。 1 求变量的取值范围 例1 已知x,y是实数,且x~2 xy y~2-2=0,则x~2-xy y~2的取值范围是( )(1997年湖北省黄冈地区初中数学竞赛题) 解 设x=a b,y=a-b, 代入已知等式,得3a~2 b~2-2=0. 即b~2=2-3a~2。     

一个双曲线的对称轴、焦点、实轴与虚轴长——兼擂题(92)解答

贵刊擂题(92)为(何豪明提供):已知双曲线G的方程为y=ax+b/x(ab≠0),试求该双曲线G的对称轴所在的直线方程、焦点坐标、实轴长、虚轴长.     

一个简证的质疑——兼谈斯坦纳定理的一个纯几何证明

《中学数学杂志》（初中）2010年第2期刊登的“斯坦纳定理的简证及推广”一文（下称文[1]）,用“同一法”证明了平面几何中著名的斯坦纳定理——两内角平分线相等的三角形是等腰三角形,并给出了两个相关命题,阅后较有启发．但对其证明笔者不敢苟同,认为有误．今冒昧提出,不妥之处,请同行赐教．为便于说明,现部分摘录如下：     

一个命题的改进

一个命题的改进本刊１９９７．３期．刊登了一个改进命题（Ｐ４８）为：设△ＡＢＣ为一般三角形，它的外接圆为⊙Ｏ，⊙Ｐ与ＡＢ、ＡＣ两边分别相切于Ｇ、Ｈ，并与⊙Ｏ相内切，Ｋ为ＧＨ之中点．求证：Ｋ为△ＡＢＣ的内心．笔者经思考、探究，发现将上命题进一步改进，便有...     

多变量求值问题的解法

<正>已知条件中含多个(两个以上)变量的一类求值问题,在近年来的初中数学竞赛试题中屡见不鲜,这类问题内容丰富,形式活泼,解法多变,各变量之间的关系比较隐蔽,需要解题者敏锐观察,细致分析,灵活运用所学知识,予以解决.现举例谈谈处理此类问题的常用方法.     

坎迪定理的有趣拓广

《坎迪定理的等价命题》[1]给出了平面几何中闻名数坛的蝴蝶定理的推广命题——坎迪定理的一个等价命题.认真研读,颇受启示.蝴蝶定理是初等几何的著名问题之一,是一颗璀璨夺目,熠熠闪烁的明珠.它像一只展翅腾飞的蝴蝶,以其美丽灵动的舞姿,吸引了众人的眼球,令人遐想,"为伊消得人憔悴".数学家、数学爱好者纷纷参与,围绕其探究的兴趣十分浓厚,诸多巧证、简证、推广屡见不鲜,坎迪(A.Kandy)定理的问世便是例证.受文[1]启发,本文将给出坎迪定理的几个有趣拓广,供读者参考.