江苏卷第20题

题目 设M为部分正整数组成的集合,数列{an）的首项a1=1,前n项的和为Sn,已知对任意整数k∈M,当n〉k时,Sn＋k＋Sn-k=2（Sn＋Sk）都成立．     

关于5／121的猜想的证明

文[1] 猜想 51 2 1 =13 3 +11 2 1 +13 63 是 51 2 1 的第二类好表法 ,即其化为三个不同单位分数之和 ,其最大分母至少是 3 63 .本文予以证明 .引理 1　若 (m ,n) =1 ,且 nkm =1x +1y ,则m|xy .引理 2　若 (m ,n) =1 ,m为素数 ,nkm2 =1x +1y ,则m2 |x或m2 |y .猜想的证明 :用反证法 ,设有自然数x ,y ,z <3 63 ,使 51 2 1 =1x+1y +1z .①( 1 )若x ,y ,z中至少一数不被 1 1整除 ,不妨设为x ,则 ( 1 1 ,x) =1 ,从而 ( 1 1 ,5x -1 2 1 ) =1 ,可是由①得5x -1 2 1x -1 2 1 =1y +1z ,由引理 2知 ,1 2 1 |y或 1 2 1 |z ,不妨设 1 2 1 |y <3 63 ,则 …     

一类圆锥曲线内接三角形定点弦结论的推广及应用

文[1]、文[2]对结论"圆锥曲线上的定点M与任意两点P,Q,若MP⊥MQ,即两弦斜率的积为-1,则弦PQ过定点"作了推广与证明,而在文[3]、文[4]中有:圆锥曲线上任意定点M与任意两点P,Q,若MP,MQ的斜率互为相反数,则PQ的方向确定.由于该类问题结论的完美和解法的灵活多样,能很好地考查学生运用代数运算解决几何问题的能力,所以在高考与其他各类考试中屡见不鲜.本文将以上结论进行整合并推广到最为一般的情形,再选择近几年一些与之相关的试     

n边闭折线的计数问题

定理　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定T(n) =12 (n -1 ) !条n边折线.证明:n边闭折线的顶点分别记为1 ,2 ,…,n -1 ,n .那么任一条闭折线都对应着这n个顶点的一个环形排列,这排列数为(n -1 ) !.但是,由于与环绕顺序无关,比如,排列1 ,2 ,3 ,…,n -1 ,n和n ,n -1 ,…,3 ,2 ,1对应同一条闭折线,因此(n -1 ) !这个数,多算了一倍,从而T(n) =12 (n -1 ) !.并进一步猜想正n边闭折线的类数L(n)有如下表达式:L(n) =[n2 ]·L(n -1 )=[n2 ]·[n -12 ]…[32 ][22 ].( [x]表示不大于x的最大整数)n边闭折线的计数问题$江苏省江阴市祝塘中学@张心…