也谈Polya-Szego不等式的加强

文〔〕将Polya—Szego不等式加细得到一个不等式链：(其中a、b、c，△分别表示△ABC的三边长及面积，下同）．此不等式链可进一步加细为：则x、y、z均为正且有于是有从而得根据A－G不等式即得：又据与海伦公式得：因此，式成立且由证明过程易知等号当且仅当a＝b＝c时取得．也谈Polya-Szego不等式的加强@李同林$江苏溧水石湫中学[1] 裘良,《Polya—Szego不等式的加强》,《中学数学》(苏州大学)1994年第4期。 [2] 李同林,《与莫勒三角形有关的一个不等式》,《福建中学数学》1993年第5期。…     

语文课堂提问的有效形式

在语文教学中,老师们越来越重视课堂提问的运用。恰当的提问能“一石激起千层浪”,使学生积极思考,使课文豁然贯通。但是课堂提问也是一门复杂的艺术,经常会出现这样一些误区。一是空问,泛泛而问,所提问题范畴过大学生找不到重点;二是穷问,整节课都是教师发问,学生作答,没有别的形式,只有一问一答;三是浅问,提的问题太浅显、乏味,不够巧妙,学生不动脑筋即可回答,     

W.Janous猜测的幂指推广

《中学数学》(苏州大学)1993年第1期与第5期集锦栏对著名的W.Janous猜测: “设x、y、z都是正数,则有y~2-x~2/z+x+z~2-y~2/x+y+x~2-z~2/y+z≥0”给出了两个简证。现可子以推广,得到: 命题设x、y、z都是正教,m、n均为自然数,则有(y~m-x~m)/(z~n+x~n)+(z~m-y~m)/(x~n+y~n)+(x~m-z~m)/(y~n+z~n)≥0. 下面利用对称思想给出一个巧妙的证法。证明:因为命题中不等式左边是一个关于x、y、z的轮换对称式.所以可设x≥y≥z,于是, 左式=((y~m-x~m)/(z~n+x~n)-(y~m-x~m)/(y~n+z~n))+((z~m-y~m)/(x~n+y~n)-(z~m-y~m)/(y~n+z~n))=(y~m-x~m)·(y~n-x~n)/((z~n+x~n)(y~n+z~n)) +(z~m-y~m)·(z~n-x~n)/((x~n+y~n)(y~n+z~n)) 又对任何自然数p,有a~p-b~p=(a-b)(a~(p-1)+a~(p-2)b+…+b~(p-1))。从而,左式     

第36届IMO第5题的背景

题 设ABCDEF是凸六边形,满足AB=BC=CD,DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60°。设G和H是这六边形内部的两点,使得∠AGB=∠DHE=120°。     

一个几何不等式的简证

1991年3月,重庆第117中学何德岳老师发现了一个新的几何不等式:在△ABC中,有: sin~2 A/2+sin~2B/2+sin~2C/2 ≤1/4 3~(1/2)etg A/2etg B/2etg C/2etg.(1) 1992年10月,宁波大学陈计先生得到不等式(1)的一个加强形式:在△ABC中,有:     

与莫勒三角形有关的一个不等式

本世纪初,著名数学家富兰克·莫勒(F·Morlex)发现了“数学中最令人吃惊而又全然意外的定理”:将任意三角形各角三等分,则每两个角的相邻三等分线交点构成正三角形,此三角形被称作莫勒三角形。本文将给出与它有关的一个几何不等式,此不等式是欧拉不等式,R≥2r的一种新隔离,从而也加强了欧拉不等式。定理如图,△DEF是莫勒三角     

语文课堂提问的有效形式

在语文教学中,老师们越来越重视课堂提问的运用。恰当的提问能“一石激起千层浪”,使学生积极思考,使课文豁然贯通。但是课堂提问也是一门复杂的艺术,经常会出现这样一些误区。一是空问,泛泛而问,所提问题范畴过大学生找不到重点;二是穷问,整节课都是教师发问,学生作答,没有别的形式,只有一问一答;三是浅问,提的问题太浅显、乏味,不够巧妙,学生不动脑筋即可回答,     

三边成等差数列的三角形的一个性质

新近,笔者在探究九四年全国高中联赛二试第三题(参见本刊94年第12期)时惊奇地发现三边成等差数列的三角形有一甚为美妙的几何性质,即存在如下命题。