球面上两点间的最短距离

在统编数材高中数学课本第二册62页上有这样一句话:“球面上两点间的最短距离,就是经过这两点的大圆被它们所分成的两个弧中较小的一个的弧长。”这一题目的证明方法可有多种,下面给出一种比较简明的证法,也是导数在几何中应用的一个例子。引理一:设0<θ<π/2则θa),y表示AB弦所对的劣弧长则y=2θ·x即y=2x·arcsina/2x于是,y′=2aresina/2x 由引理一知,y′<0. ∴y=2x·arcsina/2x是减函数,定理得证。由引理二可知,在两个不相等的圆中,如果有相等的弦,那么大圆中等弦所对的劣弧长小于小圆中等弦所对的劣弧长。从而就可以断定。球面上两     

多项式的“中国剩余定理”

本文从多项式的整除性理论与整数的整除性理论有许多相似这一角度出发,导出多项式的一个与中国剩余定理平行的结论,并举例说明其应用.引理一:设g_1(X),g_2(X),…,g_(?)(X)是数域F上的两两互质的K(K≥2)个多项式,如果(?)_i(X)=g_1(X)…g_(?-1)(X)g_(?+1)(X)…g_k(X).(i=1,2,…,K)那么(g_i(X),(?)_i(X))=1.引理二:设f(X),g(X)是数域F上的多项式,如果(f(X),g(X))=1,那么存在F〔x〕的多项式u(X),V(X),使得f(X)u(X)+g(X)v(X)=1.两个引理的证明在一般的高等代数教科书中都可找到.     

方程问题中的转化技巧

解方程的基本思路是转化。例如高次方程转化为低次(一、二次)方程,分式方程转化为整式方程,无理方程转化为有理方程,超越方程转化为代数方程,多元方程转化为一元方程等。在中学代数中实现这些转化常用的方法是因式分解,配方,换元,加减消元,代入消元等,这是大家比较熟悉的。本文举几个应用特殊技巧实现转化的例子。     

构造方程解题

构造方程解题的思路是根据题设和题断的特点,构造一个方程,然后应用方程的有关概念和性质,将问题转化成另一个比较容易解决的问题,这种通过构造方程解题的方法在中学数学中不仅有广泛的应用。而且对培养学生的观察,联想和转化等数学能力也有很大作用。本文介绍构造方程解题的几种常见形式。     

一类应用题的分析

在初中代数课本及复习资料上,都有一类“稀释”应用题。例如,一个容器盛满纯药液63升,第一次倒出一部分纯药液后,用水加满,第二次又倒出同样多的药液,再用水加满。这时,容器内剩下的纯药液是28升。问每次倒出液体多少升(初中代数课本第三册150页)?学生对解答这类应用题,往往感到困难,难以把握其中的数量变化。有的同学说:“倒进倒出,把我们的头都倒昏了。”那么应该怎样分析呢?分析这类应用题是否有基本方法可循呢?下面谈些肤浅的认识。     

应用“当且仅当…时取等号”解题

在关于不等式的许多命题中,都有一个“当且仅当…时取等号往往不被重视,其实,在解题时它们是很有作用的。本文介绍解题的一些例子。例1.设a,b,c是三角形的三边,则此三角形为等边三角形的充要条件是:a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)=3abc (1) 证明:令b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z, 则z,y,z>0,     

一类问题的简捷解法

本文讨论的两个定理提供了一类取值范围问题的简捷解法,不当之处请指正.定理1 设 a≤x≤b,c≤y≤d,m,n>0,则 mx ny 的取值范围:[ma nc,mb nd].     

逻辑代数复习题一例

高中数学第三册《数的进位制和逻辑代数简介》这一章教材包括了二进数及其运算,逻辑运算及其性质,逻辑线路等主要内容。在引入二进数时,教师虽然指出了二进数的许多优点,特别是引入二进数以后就能用逻辑代数作为工具来研究逻辑线路,但这时学生是不易理解和接受的,认为有了十进数再引入二进数是多余的。至于对逻辑运算及其性质的讨论,学生认为纯粹是在搞字母游戏。学生有这些想法是自然的。针对这种情况,上这一章的复习课时,在复习了基础知     

关于整值多项式的一个定理

88年14届全饿数学竞贵有一题:若当x=一1,O,1,2时,P(x)三ax“十脉2十‘x d取整数值,则对所有整数x,p(x)都取整数值. 当条件变为:“一1,0,1时,P(x)取整值”不成立,当变为“一1,O,1,5时”也不成立(如p(:)=李二,一李二).但我们有 55,,一--一, 定攫设f(x)=a。x” … a。为n次多项式,若存在整数k。.使f(k。),f(k。 i),…,厂(k。 ,)为整数,则厂(x)为整值多式项. 需要两个引理: 引理工当。=i,z,…,n时,e二十:一zpc乏 : 3,c尝,:一 (一1)叹n i),e:洁1=0. 引理2设了(x)=a。x“ … a。,则对任意整数k,f(k)一C盆十:f(k i) C飞 :f以 2)一 (一1)” ‘e:…     

两个不定方程的求解问题

S_n=na_1+1/2n(n-1)d是求等差数列前n项和的公式。通常是已知S_n、n、a_1、d中的三个求另一个。如果只给出S_n、d,要求n与a_1这就是一个不定方程的求解问题。特别当d=1与d=2时,可分别有不定方程S_n=na_1+1/2n(n-1),S_n=na_1+n(n-1)。求出这两个不定方程的正整数解可解答“哪些连续自然数的和是100?”“哪些