一道例题的引申及应用

题目　已知ＯＡ、ＯＢ不共线 ,ＡＰ =ｔＡＢ(ｔ∈Ｒ) ,用ＯＡ、ＯＢ表示ＡＰ(新版高一《数学》10 7页例5 ) .　　　　　图 1解　∵ＡＰ =ｔＡＢ(如图 1) ,∴ＯＰ =ＯＡ +ＡＰ =ＯＡ +ｔＡＢ=ＯＡ +ｔ(ＯＢ -ＯＡ)= (1-ｔ) ＯＡ+ｔＯＢ .若令 1-ｔ =λ,μ=ｔ,则ＯＰ =λＯＡ +μＯＢ且λ +μ=1.此题可加强为 :定理　若ＯＡ、ＯＢ不共线 ,则点Ｐ在直线ＡＢ上的充要条件为ＯＰ =λＯＡ +μＡＢ ,其中λ +μ =1(λ、μ∈Ｒ) .证明　充分性 :∵ＯＰ=λＯＡ+μＯＢ ,λ+μ =1,∴ＯＰ=λＯＡ+(1-λ) ＯＢ=λＯＡ+ＯＢ-λＯＢ ,故ＯＰ -ＯＢ =λＯＡ…     

平面向量基本定量及其应用

新版高一《数学》下册第五章平面向量第三节“实数与向量的积”一节中 ,介绍了平面向量基本定理 :如果ｅ1、ｅ2 是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对于这一平面内的任何一个向量 ａ ,有且只有一对实数λ1、λ2 ,使 ａ=λ1ｅ1+λ2 ｅ2 (此时 ,ｅ1、ｅ2 叫该平面内所有向量的一组基底 ) .　　　　　　　　　图 1这个定理的证明可从以下两个方面考虑 :(1)任给两个不共线向量ｅ1、ｅ2 ,则可表示出向量 =λ1ｅ1+λ2 ｅ2 (λ1、λ2 ∈Ｒ) ;(2 )对于平面内的任一向量 ａ ,都可以用该平面内的不共线向量ｅ1、ｅ2 来表示 .对于(1) ,由实数与向量…     

可用向量证明不等式(高二、高三)

例1 设a、b、c、d∈R.求证: 证明令a1=ai+bj,a2=di+cj,其中i⊥j且|i|=|j|=1(以下各题同,略),a1、a2的夹角为θ(0≤θ≤π),则a1、a2的坐标分别为(a,b),(d,c),由向量数量积定义,得     

“是否存在型”问题的一般解法

对于结论不确定的问题称为存在型问题 ,在数学命题中常以适合某种性质的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出现 .“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象 ,对于这类问题无论用什么方法 ,只要找出一个 ,就说明存在 .“不存在”一般需推理论证 ,常用反证法     

平面向量基本定理及其应用

新版高一<数学>(下册)第五章第三节<实数与向量的积>中,介绍了平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任何一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(此时,e1,e2叫做表示该平面内所有向量的一组基底).     

等价转化的几种常见方法

把问题通过转化而求得解决 ,是数学上最为普遍的做法 ,当我们遇到生疏或繁难的问题时 ,通过把这些问题朝着我们熟知的基本问题的转化 ,以达到“化生为熟 ,化繁为简”的目的 .转化时 ,有时是等价的 ,即转化前后的两个命题成立与否是互为充要条件 ,有时则是不等价的 ,此时必须添加其他一些限制条件 .对某个数学问题进行等价转化时 ,常见的方法有如下几种 :一、转化为求函数的最值 (或值域 )对于与自然数有关的不等式恒成立问题 ,方程有解问题 ,可将问题转化为求函数的最大 (小 )值或值域来处理 .例 1　已知 f ( x) =lg 1n[1+2 x +3x +… +( n-…     

平面向量基本定理及其应用

新版高一数学下册第五章《平面向量》第三节《3.2实数与向量的积》一节中,介绍了平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任何一个向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,a=λ1e1+λ2e2.(此时,e1、e2叫该平面内所有向量的