对二次曲线上的有理点的探讨

我们知道,在直角坐标系中由二元二次方程ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f=0所确定的曲线称为二次曲线．若点（x,y）在二次曲线上,且x、y均为有理数,则称点（x,y）为二次曲线上的有理点．     

表面展开图为三角形的四面体

大家知道,正四面体的表面展开图是正三角形,一般四面体的表面展开图不一定是三角形．那么什么样的四面体,它的表面展开图是三角形,是一个怎样的三角形;反过来,这样的三角形总可以作为一个四面体的表面展开图吗？三角形的面积与四面体的体积之间存在着怎样的关系？下面就这些问题进行探讨．定理回四面体的表面展开图为三角形的充要条件是四面体的三组对棱分别相等．证明必要性：若四面体S－DEF（图1）的表面展开图为凸ABC（图2）,则D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,因此,AF一DE,BD一EF,CE一FD,即SF一DE,SD—EF,S…     

一个整除定理及其应用

众所周知 ,著名的费马小定理是 :如果 ｐ是素数 ,那么对于任何整数ａ ,都有 ｐ｜(ａｐ-ａ) .如果改动这个著名定理条件 ,将 ｐ是素数放宽为ｐ是奇数 ,会出现什么结论呢 ?这个结论有何用呢 ?本文就此作些探讨 .定理　如果 ｐ是 (正 )奇数 ,那么对于任何整数ａ,都有 6 ｜ (ａｐ-ａ) .证明　当 ｐ =1时 ,结论显然成立 .当 ｐ >1,即 ｐ=2ｋ +1(ｋ∈Ｎ)时 ,ａｐ-ａ =ａ2ｋ- 1) ,记 ｆ(ａ) =ａ2ｋ- 1,则 ｆ(± 1) =0 .由因式定理知 ｆ(ａ)能被 (ａ - 1)、(ａ+1)整除 ,故 ｆ(ａ) =(ａ- 1) (ａ+1)ｍ(ｍ∈Ｚ) ,因而ａｐ-ａ =ａｆ(ａ) =ａ(ａ - 1) (ａ…     

关于自然数与等幂和的一些性质

通过计算,我们有该式表明12,23,31的和、平方和与13,32,21的和、平方和对应相等。有趣的是式子右边的三个数恰好是左边三个数的逆转,而且左边的三个数与自然数123有一定的关系。这并不是偶然的。下面我们来讨论自然数与等幂和的一些性质。     

一道IMO预选题的简单解法

在第31届IMO预选赛中,有这样一道题:设a、b、c、d是满足ab 酝十cd da二1的非负实数,试证: a3西3 c3 d31于一厂二-二一于 一一,,一丁一; 一丁;一,一奋十一二、-下一)牛口 C 叮一口 C 以’a b 召一a 少 c一3 把上述不等式左、右两边分别招加: a 3b,e3口,云下-一万丁石十~丁丁二厂下一马十二了万一:一石 -尸二—u,‘一““个‘十a“十D十a夕升夕十C~1‘‘二,石~又a十口十C十a夕一 石412一矗〔·十”十‘十‘’1l3’本文应用均值不等式(宁异而·(a b c e)一,二 一竺苍丝习示,x、;、:、。*·)给出这道试题一种简单的解法.,.’ ab b‘ cd da=1…     

关于等周长方体的几个问题

对于2个长方体，若它们的三度（长、宽、高）均为整数且和相等，则称这样的2个长方体为等周长方体．关于等周长方体，本文给出并解答如下几个问题：