用构造法解题的几种途径

数学解题的构造性思维和方法,现在是解题研究的热点之一。近年来,就具体的构造方法,诸如构造函数、构造方程、构造图形等,研究文献较多。本文通过例题,从思维的整体性角度探求构造思维形成的一些途径。一、背景构造有些问题,当孤立地运用题设条件难以获得解题思路时,不妨把所考虑的问题置于特定的背景下,构造问题的原形,往往可得到简捷巧妙的解法。例1 设n为自然数,证明分析:变换组合数C_(2n)~n,企图通过演算得出结果,但繁复的运算使人望而却步。由于C_(2n)~n为二项式(x y)~(2n)的展开式的第n 1项的系数模式,故设想构造二项式定理来证明。二项展开式为     

例谈解数学题的思维起步

“问题是数学的心脏,学数学就意味着解题”(波利业语).身临数学题海,能迅速、准确地找到解题突破口,实现解题的思维起步,是现代化对数学能力的要求.本文通过例题说明几种思维的起步模式. 一、从特殊性看问题考察几个特例或许能洞悉问题的一般规律(特征).对于含有变动的几何元素(点、线段、图形)的题日,也常从变动元素处于特殊位置(常为极端位置)时展开解题思路.因此,从特殊性青问题是忠维起步的模式之一. 例1 是否存在常数a、b、c使得恒等式 1·2~2+2·3~2+…+n·(n+1)~2 =n(n+1)/12(an~2+bn+c).对一切自然放n都成立?并证明你的结论.     

构造辅助圆处理解几问题的若干途径

对有些解几问题,构造辅助圆来处理,实用简便,且富有成效,本文举例说明构造辅助圆解题的若干途径。一、依据“平分”构造辅助圆例1 在椭圆x/16+y/4=1内有一点P(1,1),求经过这点且在这点被平分的弦所在直线的方程和弦长。解:设过点P且被平分的弦为AB,依此构造以P为圆心,AB为直径的圆,其方程为 (x-1)~2+(y一1)~2=R~2. 设A(1+Rcosθ,l+Rsinθ),则点B的坐标为(1-Rcosθ,1-Rsinθ)。     

一个基本关系式的巧妙应用

众所周知,“x=rcosθ,y=rsinθ”是任意角的三角函数的定义式,亦是复数的三角式与代数式的互化式,点的极坐标与直角坐标的互化式,它纵横三角、代数、解几诸知识领域,是一个基本的关系式.解题时,若注意发挥其作用,常可使许多问题巧妙获解,下面举例说明.     

数学解题构造思维途径初探

数学解题的构造性思维和方法是解题研究的热点之一,近年来,就具体的构造方法,诸如构造函数、构造方程、构造图形等,研究文献较多.本文通过例题,从思维的整体性角度探求构造思维形成的一些途径. 一、背景构造有些问题,当孤立地运用题设条件难以获得解题思路时,不妨把所考虑的问题置于特定的背景下,构造问题的原形,往往可得到简捷巧妙的解法. 例1 设n为自然数,证明     

从数学美的角度寻求解题思路

众所周知,数学中的对偶数式、对称图形及命题与命题之间结构的对称等,体现了数学和谐一致的美。这种美不仅是一种研究对象和审美标准,而且是一种解题方法。处理数学问题时,若能注意其原始对称美的挖掘、补全、构造和利用,往往可获得简明、迅捷、巧妙之解法。     

从问题本身看解题思路

解题时,问题本身应是思维的出发点．抓住问题的外形特征、内部结构等方面透露的信息,展开思维,并对当前思维成果不断反馈与评价,控制解题方向或重新选择解题思路,是数学解题中较为有效的思考方法．一、外形特征问题的外形特征是信息源,引导学生抓住其外形特征,通过...     

如何培养学生的数学应用意识

一、数学应用意识的思考 在日常的数学教学中，有些教师将教学仅仅停留在知识点的罗列以及基本题型的变式训练上，使教学囿于识记的层面，不注重知识的发生发展过程，更不注重数学知识的应用教学，是典型的掐两头“烧中段”。不可否认，在当前的中考、高考制度之下，数学教学无法回避“应试”的要求。不能不考虑学生和家长的现实需要。但是，作为一名数学教师应该清楚地知道，学生总有一天要离开课堂，走出校门，除了数学工作者（或从事涉及数学知识的工作）之外，绝大部分人都不会与数学专业知识打交道。这样一来，对学生以后的工作、生活最有帮助的就是数学应用意识。数学应用意识可以提供学生在工作、生活中解决问题的方式方法，并建立数学模型，使问题得以解决。现代社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多，举个浅显的例子：很多城市有十字交叉型的街道，多数是以两条街的交叉口作为原点，即0号，再向四个方向依次编号的，只要看一下编号就知道离交叉口有多远，同时也不会出现街道编号上的混乱问题。这就是规划设计者较好地运用了直角坐标系原理的结果。这不需要设计者有很高的数学修养，但要有较好的数学应用意识。     

教材例习题的教学处理

例、习题是教材的重要组成部分,它蕴含着丰富的教学功能。现对教材例、习题的教学谈以下几点体会。 一、揭示背景材料 教材中的许多例、习题有着抽象的或现实的背景,若教学中予以揭示和穿插,则可把握问题的真谛或来源。     

三角函数问题的“解几”直观解法举例

本文试图通过数例阐述“解几”在三角函数解题中的应用。事实上,若恰当地依据“已知”,构造“解几”模型,化“数”为“形”,就能使得解题过程直观明了,不仅能加深对基础知识的理解,还能渗透各学科知识间的内在联系,提高解题能力。一、求三角函数值例1 已知acosα bsinα=c,acosβ bsinβ=c(ab≠0,α-β≠κπ),求cos~2 α-β/2的值。解∵点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)为直线ax by-c=0与圆x~2 y~2=1的两个交点,构造图1,|AB|~2=(cosα-cosβ)~2 (sinα-sinβ)~2=2-2 cos(α-β)。