重积分的又一种计算法

重积分的一些常规计算方法,已众所周知,毋需赘述。本文所要着重讨论的是如何利用第一型线、面积分来作出重积分的计算,并提供几个典型的例子,以期能看出此种方法的优劣。 首先,我们在xoy平面上作一与区域D的边界相交的曲线C(它或是以某点为心半径为的圆弧,或是与原点的距离为r的直线,而具体的作法须根据D的形状及下面的要求而定),设其方程为F(x,y,r)=0,从而可知它与D的边界的交点的坐标为A(x_1(r),y_1(r))及     

多元函数极值的又一种判别法

本文给出了利用梯度判定多元函数极值的判别法,并提供了若干范例.     

关于梯度、散度和旋度在正交曲线坐标系下表达式的推导及剖析

对于这一问题,一般都是从这些概念的定义出发来加以推导的.现欲从直角坐标系下的既得公式出发,通过坐标变换和微分法,将上述各式分别化为正交曲线坐标系下的表达式。设正交曲线坐标q_1,q_2,q_3与直角坐标x,y,z间的关系即坐标变换式为     

高等数学拾零——数学研究随笔

在高等数学课程里,有不少问题仍是值得研究讨论一番的.综观许多高等数学教材,有的是书中尚有疏忽失误之处,务必加以修改;有的是定理证明及公式推导显得繁琐,实有简化之必要和可能;还有的是书中该论及而未予论及且又不易找到确切解答,应当加以补充或附以注释的.凡此种种,本文仅就一元微积分部分择其数例略抒己见,以供探讨.     

不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)的应用

本文提供了若干关于不等式a+b╱2≥(ab)~(1╱2)在代数、几何、三角及分析方面应用的例子,特别是介绍了由上述不等式推得的其它一些不等式的应用,这些结果对于求解某些多元函数条件极值问题是很有用的。     

利用高阶偏导数对二元函数极值的判定

用二阶偏导数来判定函数f(x,y)在其驻点(x,y_0)处的极值,有时可能有判别式f_(xy)~2(x_0,y_0)-f_(xx)(X_0,y)·f_y(x,y_0)等于零的情况.这时,原来的判别法失效,从而需要作出进一步的考察.为此,本文特给出一种利用一般的高阶偏导数的判别方法.设函数f(x,y)在点(x,y_0)处可展开成n阶泰勒公式,并将其写成△f=P(h,k)+ε.式中P_n(h,k)=sum from m=1 to n(1/(m+1)!)(h((?)/(?)x)+(k(?)/(?)y))~(m 1)f(x,y_0);当ρ趋于零时ε趋于零.同时还设函数f(x,y)在点(x,y_0)处所有阶数不大于某个正整数N的偏导数都等于零,或在点(x,y_0)的某个邻域内所有阶数大于N+1的偏导数都恒等于零.那末,二元函数极值的高阶偏导数判别法可简单地归结为:若P_N(h,k)恒正或恒负,则f(x,y)在点(x_0,y_0)取得极值;若P_N(h,k)有正有负,则f(x,y)在点(x_0,y_0)处不取极值.     

利用富里哀级数求周期函数的最小正周期

众所周知,非常量的连续周期函数必有最小王周期.但对如何求得其值,还未见广泛适用的一般性方法.本文将通过函数周期性与其富里哀级数间的关系给出一个解决此问题的具体方法.下面,我们先证明一个命题: