可用来建立正项级数判敛法则的一组定理

众所周知,正项级数sum from n=1 to ∞(1/n)1/n~p(P级数)和sum from n=2 to ∞(2/n)(1/nln~pn)都是当p>1收敛,当p≤1发散。本文根据这一事实推导出一组定理,为寻求正项级数的判敛法则提供了一般途径,由这些定理建立的判敛法则的“灵敏度”分别与上述两个级数的敛散速度相当,文中列举了四个实例,其中包括拉贝判敛法与伯尔特昂判敛法。     

加权幂平均值不等式的一个新证明

不同于文[1],笔者利用熟知的凹函数方法,给出了加权幂平均值不等式的一种新的证明。首先给出凹函数的一个性质作为引理,然后对引理中的不等式作简单的变换,就得到了待证的不等式。证明过程推导简洁,思路清晰。     

关于罗必塔法则的教学札记

众所周知,罗必塔法则是求不定式极限的强有力工具,方法简单,不难为初学者所掌握。但在求解一些较难的题目时,往往由于求解过程中所得的不定式表达上过于繁杂,从而使继续对分子分母求导十分麻烦,既费时间,又易出错,有时甚至越算越繁,无法求得最后结果。本文例举若干方法,通过例题说明在上述困难情况下,可以采用这些方法,化繁为简,使问题迎刃而解。     

建立微分方程的途径

在高等数学教学中,学生在接受上最感困难的内容是应用题,换句话说,学生对于把实际问题提炼为数学模型最感困难。其原因是多方面的:对于有关的数学概念没有深刻的理解,甚至理解不准确;与问题相关联的其他学科的知识不熟悉;对于分析量与量之间错综的联系缺乏足够的能力等等。由于在数学模型的建立上,微分方程较之最值问题中的函数关系,定积分问题中的微元等更为复杂多样一些,加之在教学上微分方程的应用问题分散在各种类型方程的解法之后,不如最值问题和定积分应用问题的集中,没有机会进行系统     

对收敛P一级数和的估计的再改进

对于收敛 P一级数的和,文[1]给出了一个近似值公式与估值不等式.此后,文[2]作了改进,即:若令 P=1 x(x>0)本文对上述(1)式和(3)式又作了改进,给出了更精确的估计式,即证明了: (4)式说明:(1)式给出了近似值(2)式的绝对误差限,σ_1(x)=(1 x)/2n~(2 x),而这个绝对误差限实际上还可以减小一半,即由(4)式σ_2(x)=(1 x)/4n~(2 x)=1/2σ_1(x).这不仅提高了,近似值的精确度,而且对于予定精确度的问题可以减少计算工作量.(5)式给出了比(3)式更小的σ(x)取值范围,如     

短期成本分析的一个数学问题

一般的微观经济学教科书 (例如复旦大学出版社 1998年 12月第一版《现代微观经济学》)中 ,关于短期成本分析的讨论 ,建立在各种成本曲线的直观基础上。由于没有对总成本曲线 (或可变成本曲线 )的单调增 ,先凸向上 ,后凸向下的性态从解析上给予描述 ,所以不能在数学上严格证明讨论中的一个重要命题 :当某个产量使边际成本与平均成本相等时 ,平均成本达到最小值 ;而且这个产量存在且唯一。本文利用初等微积分的知识 ,在下面证明上述命题。就成本分析所指的“短期”内 ,企业的全部成本可分为固定成本和可变成本两类。因为固定成本与企业的产量 …     

柱、锥、台、珠的体积

各类柱、锥、台、球的体积计算,在日常生活、生产实践等领域有着广泛的应用。中专数学教材由于受学时、篇幅、内容体系等的限制,虽然对这些几何体的体积公式都有讲述,却不能全面地给出证明。     

位似曲线与单参数曲线族

先给出了位似曲线与相似曲线的定义,然后在此基础上推导出若干结果,即:两曲线位似的充分必要条件;单参数曲线族是位似曲线族的充分必要条件;位似曲线的共有性质。     

数学教学偶拾

已故的我国著名数学家华罗庚教授在他的《高等数学引论》序言中说:“同学也要求讲讲‘人家是怎样想出来的?’因而在讲书时也曾作过尝试,主观地推测一下,,这很可能并不是原来的想法,但给出一条‘这一步看下一步不难,连看几步就达到目的’的途径,作为同学们的参考.”情况确实如此,我们在教学中有时也被“这一步是怎样想出来的?”这类问题所困扰.出现此种现象的原因是不难理解的:在数学教材中,各种定理、公式、法则的证明通常采取从条件到结论的“综合法”,其优点是,在逻辑的展开上严密、简炼、清楚,但是它掩盖了历史上人们探索出这些定理、公式、法则并对之进行论证的真实思维过程,因而对于培养数