第4讲 立体图形

我们生活在一个丰富多彩的图形世界里,对于立体图形的问题,我们常将它转化成平面图形的问题来解决.展开一个立体图形、切割一个立体图形、从不同的角度去观察一个立体图形,都是转化的重要方法.反之,我们还要会将已展开的图形折叠成一个立体图形,以及通过平面图形的三视图,来想像出立体图形的形状.     

爱可尔斯定理的一般情形与应用

关于爱可尔斯定理Ⅰ、Ⅱ的证明、推广和应用,已在文[1]、文[2]中详述,本文将给出它的一般情形,依文[2]将它记作定理Ⅱ_4。定理Ⅱ_4 如果z_1z_2z_3…z_m、u_1u_2…u_m、…、V_1V_2V_3…V_m是n个彼此相似的、正绕向的多边形,而     

爱可尔斯定理的证明、推广与应用(续)

一九三二年,美国人爱可尔斯(Echols)发现了下面两个定理:[1] 定理Ⅰ如果△z_1z_2z_3和△u_1u_2u_3都是正绕向的正三角形,而w_1、w_2、w_3是线段z_1u_1、z_2u_2、z_3u_3的中点,那么,△w_1w_2w_3也是正绕向的正三角形。     

爱可尔斯定理的证明、推广与应用

一九八三年芜湖市中学生数学竞赛中有这么一道题: 如图,△ABC、△A′B′C′为同一平面内的两个正三角形,P、Q、R分别是AA′、BB′和CC′的中点,试证明△PQR也是正三角形。这道题就是所谓的爱可尔斯定理。它是美国人爱可尔斯(Echols)在一九三二年发现的。它的证法很多,下面给出两种证法。     

不等关系在解题中的应用

合理利用数量之间的不等关系解题,是数学竞赛解题中一种较为常见的技巧. 例1.有两个学生参加了四次测验,他们的平均分数不同,但都是低于90分的整数.他们又参加了第五次测验,测验后他们的平均成绩都提高到了90分.问在第五次测验时,这两个学生的分数各是多少?