三角形的周长平分线

1．问题的提出 如图1，AABC的三个旁切圆和三边BC、CA、AB的切点分别为D、E、F，由切线长定理易知，AD、BE、CF分别等分AABC的周长．     

两个几何不等式的加强

1 .1 96 5年 ,H .Demir-D .C .B .Marsh建立了三角形高线ha、hb、hc 和旁切圆半径为ra、rb、rc 的不等式[1] :raha+ rbhb+ rchc≥ 3.①文 [2 ]把上述结果加强为 :设三角形的内角平分线和旁切圆半径分别为ωa、ωb、ωc,ra、rb、rc,则raωa+ rbωb+ rcωc≥ 3.②本文将②再加强为 :rarb+rc+ rbrc+ra+ rcra+rb≥32 .③由三元均值不等式易证式③成立 .欲证③是②的加强 ,只须证下列三式rb+rc≥ 2ωa,④rc+ra≥ 2ωb,⑤ra+rb≥ 2ωc.⑥据旁切圆半径及角平分线公式 ,rb+rc≥ 2ωa 等价于p(p-a) (p -c)p -b + p(p-a) (p -b)p -c≥ 4 bcp(p -a)b…     

圆内一类线段长度的排序问题

[数学问题351]问题 P为三角形ABC内的一点,直线4P分别交边BC和三角形ABC的外接圆于点M和N,当点P为三角形ABC的内心,重心,约尔刚点（M为内切圆切点）,奈格尔点（M为旁切圆切点）,外心和垂心时,分别记线段MN的长为l_1,l_G.l_K,l_O,l_H.     

权方和不等式引出一个数学问题

问题三角形内切圆半径r，旁切圆半径ra、h、rc、面积．S△、有：     

焦点三角形内（旁）切圆的又一个性质

在圆锥曲线中,焦点三角形引人注目,它的面积是一个非常重要的几何量,值得我们深入探究.为此,文[1]介绍了焦点三角形内(旁)切圆的两个性质与应用,在它的启示下,笔者也对其作了点探究,又得到了一个性质,现论述如下,与读者共赏.     

与三角形面积相关的几个关系式的研究

我们知道,三角形的旁切圆与该三角形一边及另两边的延长线相切,一个旁切圆的三个切点也构成一个三角形,不妨称它为该三角形的旁切圆三角形．因为一个三角形有三个旁切圆,故一个三角形的旁切圆三角形也有三个．笔者近日研究了与三角形旁切圆相关的旁切圆三角形面积问题,得到几个优美结果,今整理如下,以飨读者．     

浅谈椭圆焦点三角形的性质

所谓椭圆焦点三角形是指椭圆上任一点与其两焦点构成的三角形 .本文以椭圆 x2a2 + y2b2 =1　 (a >b>0 )为例 ,利用其定义及性质来证明△F1PF2 的十一个性质 .记P(x0 ,y0 ) ,∠F1PF2 =γ ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β ,c =a2 -b2 ,e =ca ,则有以下性质 :性质 1　△F1PF2 的周长为 2a + 2c .证明略 .性质 2　 |PF1| =a +ex0 ,|PF2 | =a -ex0 .证明略 .性质 3　△PF2 F1的面积S =b2 tan γ2 .证明　设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,则△PF2 F1的面积S =12 mnsinγ .由椭圆定义得m +n =2a .又由余弦定理得4c2 =m2 +n2 - 2mncosγ=(m +n) 2 -…     

Demir——Marsh不等式的最佳形式

H．Demir和D．C．B．H．Marsh曾建立了如下不等式：若ha，hb,hc，ra，rb,rc分别为△ABC三边a，b，c上的高和旁切圆半径，则有：ra/ha＋rb/hb＋rc/hc≥3.[第一段]     

直角三角形外有关旁切圆半径的有趣结论

文[1]推证了直角三角形内有关内切圆半径的两个结论．若将内切圆换成旁切圆,探究发现,结论同中有别．