2013中国数学奥林匹克

第一天 1.两个半径不相等的圆Γ1、Γ2交于点A、B,点C、D分别在圆Γ1、Γ2上,且线段CD以A为中点,延长DB与圆Γ1交于点E,延长CB与圆Γ2交于点F,设线段CD、EF的中垂线分别为l1、l2.证明: (1)l1与l2相交; (2)若l1与l2的交点为P,则三条线段CA、AP、PE能构成一个直角三角形. (熊斌供题) 2.确定所有由整数构成的非空集合S,满足:若m、n∈S(m、n可相同),则3m-2n∈S. (陈永高供题) 3.求所有的正实数t满足:存在一个由实数组成的无限集合X,使得对任意的x、y、z∈X(x、y、z可相同),及任意实数a与正实数d,均有max｛|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|} ＞td.